Google secret algorithm (almost) revealed

الحل الأساسي للمشغل التفاضلي الجزئي الخطي \(ل\) هو حل للمعادلة \(لو = دلتا (س)\)، حيث \(دلتا (س)\) هي دالة دلتا ديراك. وهي تمثّل استجابة النظام لمصدر نقطي أو دافع. وبمجرد معرفتها، يمكن إيجاد حل المعادلة غير المتجانسة \(لو = f(x)\) عن طريق الالتفاف: \(\(u(x) = (G * f)(x)\)، حيث \(G\) هو الحل الأساسي.

قوانين دي مورغان هي زوج من قواعد التحويل في الجبر البولياني، وهي أساسية لتصميم الدوائر الرقمية. ينص القانون الأول على أن نفي العطف هو فصل النفيين: \(\neg(P \land Q) \iff (\neg P) \lor (\neg Q)\). ينص القانون الثاني على أن نفي العطف هو فصل النفيين: \(\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)\).

متعدد الشعب القابل للاشتقاق هو فضاء طوبولوجي مشابه محليًا للفضاء الإقليدي، مما يسمح بتطبيق التفاضل والتكامل. لكل نقطة جوار متماثل لمجموعة فرعية مفتوحة من \(\mathbb{R}^n\). ترتبط أنظمة الإحداثيات المحلية هذه، والتي تُسمى المخططات، بدوال انتقال سلسة، لتشكل أطلسًا يُحدد بنية متعدد الشعب القابلة للاشتقاق.

تعتمد الإلكترونيات الرقمية على الجبر المنطقي، وهو نظام رياضي للمنطق قدمه جورج بول. وهو يستخدم قيمتين، عادةً 0 و1 (أو خطأ وصواب)، وثلاث عمليات أساسية: AND (اقتران)، OR (فك الارتباط)، OR (فك الارتباط)، و NOT (النفي). تتوافق هذه العمليات مباشرة مع البوابات المنطقية التي تشكل اللبنات الأساسية لجميع الدوائر الرقمية.

تصف نظرية الأعداد الأولية التوزيع المقارب للأعداد الأولية بين الأعداد الصحيحة. وتنص على أن دالة عد الأعداد الأولية \(\pi(x)\)، التي تعطي عدد الأعداد الأولية الأصغر من أو يساوي \(x\)، مكافئة تقريبيًا لـ \(x / \ln(x)\). نظريًا، \(\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln(x)} = 1\). يوفر هذا رابطًا أساسيًا بين الأعداد الأولية واللوغاريتم الطبيعي.

تنصّ هذه النظرية على أنه بالنسبة إلى أي دالة متصلة \(و\) ترسم مجموعة محدبة مضغوطة لنفسها، هناك نقطة \(س_0\) بحيث تكون \(و(س_0) = س_0\). تُسمّى هذه النقطة نقطة ثابتة. بشكل غير رسمي، إذا أخذنا خريطة لبلد ما، وقمنا بتجعيدها ووضعناها داخل حدود البلد، فستكون هناك دائمًا نقطة واحدة على الأقل على الخريطة تقع مباشرةً فوق الموقع المناظر لها في العالم الحقيقي.

Analysis of Variance (ANOVA) is a statistical method that partitions the total observed variability in a data set into components attributable to different sources. The core idea is to compare the variance between the means of different groups to the variance within those groups. If the between-group variance is significantly larger, it suggests the group means are genuinely different.

تنص نظرية إيجيريوم (وتعني باللاتينية "النظرية الرائعة") على أن الانحناء الغاوسي للسطح خاصية جوهرية. وهذا يعني أنه يعتمد فقط على كيفية قياس المسافات على السطح نفسه، وليس على كيفية تضمين السطح في الفضاء الثلاثي الأبعاد. يمكن لف ورقة مسطحة على شكل أسطوانة ولكن ليس على شكل كرة دون أن تتمدد.

تربط نظرية غاوس-بونيه هندسة سطح مضغوط ثنائي الأبعاد بطوبولوجيا السطح. وهي تنصّ على أن تكامل انحناء غاوس \(ك\) على السطح بأكمله \(م\) يساوي \(2\بي\) مضروبًا في خاصية أويلر \(\شي (م) \) للسطح. المعادلة هي \(\(\int_M K \، dA = 2\pi \chi(M)\).

تشير الدقة إلى قرب القيمة المقيسة من قيمة قياسية أو قيمة حقيقية معروفة. تشير الدقة إلى مدى تقارب قياسين أو أكثر من القياسات مع بعضها البعض. يمكن أن يكون نظام القياس دقيقًا ولكن ليس دقيقًا، أو دقيقًا ولكن ليس دقيقًا، أو لا هذا ولا ذاك، أو كلاهما معًا. هذان المفهومان مستقلان عن بعضهما البعض في نظرية القياس.

الهندسة الريمانية هي فرع من فروع الهندسة التفاضلية يدرس المتشعبات الريمانية، وهي متشعبات ملساء مزودة بمقياس ريمان. هذا المقياس هو مجموعة من الضربات الداخلية في الفضاءات المماسّة، تتغير بسلاسة من نقطة إلى أخرى. يسمح هذا بتعريف مفاهيم هندسية محلية مثل الزاوية، وطول المنحنيات، ومساحة السطح، والحجم، مما يؤدي إلى مفهوم عام للانحناء.

التشابه هو دالة متصلة بين فضاءين طوبولوجيين لها دالة عكسية متصلة. يسمى الفضاءان الطوبولوجيان متماثلين إذا كانت هذه الدالة موجودة. من وجهة نظر طوبولوجية، تكون الفضاءات المتماثلة متطابقة. يجسد هذا المفهوم فكرة أن الجسم يمكن أن يتمدد أو ينحني أو يتشوه إلى جسم آخر دون تمزيق أو لصق، مثل كوب قهوة في كعكة دونات.

A statistic indicating the goodness of fit of a model, representing the proportion of the variance in the dependent variable that is predictable from the independent variable(s). An R² of 1 indicates a perfect fit, while 0 indicates no linear relationship. It is calculated as \(R^2 \equiv 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}\), where \(SS_{res}\) is the residual sum of squares.

الفضاء الطوبولوجي هو زوج مرتب \((X, \tau)\)، حيث \(X\) هي مجموعة و\(\tau\) هي مجموعة من المجموعات الجزئية لـ \(X\)، تسمى المجموعات المفتوحة، وتحقق ثلاثة مسلمات: 1) المجموعة الفارغة \(\emptyset\) و\(X\) نفسها تقعان في \(\tau\). 2) اتحاد أي عدد من المجموعات في \(\tau\) يقع أيضًا في \(\tau\). 3) تقاطع أي عدد محدود من المجموعات في \(\tau\) يقع أيضًا في \(\tau\).

One-way ANOVA is used to determine whether there are any statistically significant differences between the means of three or more independent groups. It analyzes the effect of a single categorical independent variable, known as a factor, on a continuous dependent variable. The null hypothesis states that all group means are equal, \(H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k\).