仿生多样性

偏微分方程（PDE）是在一个多变量函数的各个偏导数之间建立关系的方程。函数通常被称为未知数，而偏微分方程则描述了未知函数与其导数之间的关系。与涉及单变量函数的常微分方程 (ODE) 不同，偏微分方程是多维系统建模的基础。

一种求解一阶和双曲二阶偏微分方程 (PDE) 的技术。该方法将偏微分方程 (PDE) 简化为一系列沿着特定曲线（称为“特征”）的常微分方程 (ODE)。沿着这些曲线，PDE 会简化，从而可以通过对 ODE 组进行积分来求得解。该方法对于涉及传输和波传播的问题尤其有效。

与柯西初值问题相关的偏微分方程的基本存在唯一性定理。该定理指出，如果偏微分方程和初始条件是“解析的”（可以用收敛幂级数表示），则在初始曲面的邻域中存在唯一解析解。它提供了局部存在性的保证，但并未解决全局行为或适定性问题。

A key result in number theory stating that if a prime number [latex]p[/latex] divides the product of two integers [latex]a[/latex] and [latex]b[/latex], then [latex]p[/latex] must divide at least one of those integers. That is, if [latex]p | ab[/latex], then [latex]p | a[/latex] or [latex]p | b[/latex]. This property is essential for proving the uniqueness part of the Fundamental Theorem of Arithmetic.

贝祖特定理是交点理论中的一个基本定理。它断言，只要在代数闭域上的投影面中工作，计算具有多重性的点，并包括平行渐近线相交的无穷远处的点，两条度数分别为 [latex]m[/latex] 和 [latex]n[/latex] 的平面代数曲线的交点数正好是 [latex]mn[/latex]。

This theorem states that every integer greater than 1 is either a prime number or can be uniquely represented as a product of prime numbers, disregarding the order of the factors. For example, [latex]1200 = 2^4 \times 3^1 \times 5^2[/latex]. This unique factorization is a cornerstone of number theory, providing a fundamental multiplicative structure for the integers.

希尔伯特的零点定理（德语为 "零点定理"）在几何和代数之间建立了基本的对应关系。它指出，对于代数闭域 [latex]k[/latex]，如果多项式 [latex]p[/latex] 在理想 [latex]I[/latex] 的零集上消失，那么 [latex]p[/latex] 的某个幂必定属于 [latex]I[/latex]。形式上，[latex]I(V(I)) = \sqrt{I}[/latex]，即 [latex]I[/latex] 的根。

Sheaf cohomology 是现代代数几何中研究几何空间全局性质的核心工具。对于空间 [latex]X[/latex] 上的 Sheaf [latex]/mathcal{F}[/latex]，同调群 [latex]H^i(X, \mathcal{F})[/latex] 是向量空间，其维度提供了重要的不变式。群 [latex]H^0[/latex] 代表全局截面，而 [latex]i > 0[/latex] 的更高群 [latex]H^i[/latex] 则测量将局部截面拼接成全局截面的障碍。