准确性与精确性

通过寻找模型参数，使观测值与预测值的平方差之和最小化，从而近似求解超确定系统的标准方法。这个和称为残差平方和（SSR）。目标是找到使函数 [latex]S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex] 最小化的参数 [latex]/hat{\beta}[/latex]。.

Theorema Egregium（拉丁语，意为 "显著定理"）指出，曲面的高斯曲率是一种固有属性。这意味着它只取决于如何测量曲面本身的距离，而不取决于曲面如何嵌入三维空间。一张平纸在不拉伸的情况下可以卷成圆柱体，但不能卷成球体。

高斯-波奈定理将紧凑二维曲面的几何与拓扑联系起来。它指出，整个曲面 [latex]M[/latex] 上的高斯曲率积分 [latex]K[/latex] 等于曲面的欧拉特性 [latex]2\pi[/latex] 乘以欧拉特性 [latex]/chi(M)[/latex]。公式为 [latex]\int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

黎曼几何是微分几何的一个分支，研究黎曼流形——具有黎曼度量的光滑流形。该度量是切空间上内积的集合，其值随点而平滑变化。它允许定义局部几何概念，例如角度、曲线长度、表面积和体积，从而引出广义的曲率概念。

同构是两个拓扑空间之间的连续函数，它有一个连续的反函数。如果存在这样的函数，两个拓扑空间就被称为同构。从拓扑学的角度来看，同构空间是相同的。这一概念体现了这样一种思想，即一个物体可以被拉伸、弯曲或变形为另一个物体，而不会撕裂或粘连，就像一个咖啡杯可以变成一个甜甜圈。

表示模型拟合程度的统计量，代表因变量中可由自变量预测的方差比例。R² 为 1 表示完全拟合，0 表示没有线性关系。计算公式为 [latex]R^2 \equiv 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}[/latex], 其中 [latex]SS_{res}[/latex] 为残差平方和。.

二阶线性椭圆偏微分方程，用于描述稳态或平衡条件下的系统。它被写成 [latex]nabla^2 u = 0[/latex] 或 [latex]Delta u = 0[/latex]，其中 [latex]nabla^2[/latex]（或 [latex]Delta[/latex]）是拉普拉斯算子。解称为谐函数，是最平滑的函数，代表静电、重力和流体流动等领域的电势。

描述热分布或其他扩散过程的基本二阶线性抛物线偏微分方程。其典型形式为 [latex]\frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla^2 u[/latex]，其中 [latex]u(\vec{x},t)[/latex] 为温度，[latex]t[/latex] 为时间，[latex]\alpha[/latex] 为热扩散率。解法模拟了初始温度分布的演变过程，随着时间的推移，不规则的温度分布逐渐平滑并接近稳定状态。

线性偏微分算子 [latex]L[/latex] 的基本解是方程 [latex]Lu = delta(x)[/latex] 的解，其中 [latex]delta(x)[/latex] 是 Dirac delta 函数。它表示系统对点源或脉冲的响应。一旦知道了非均相方程 [latex]Lu = f(x)[/latex] 的解，就可以通过卷积求得：[latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], 其中 [latex]G[/latex] 为基本解。

德摩根定律是布尔代数中的一对变换规则，是数字电路设计的基础。第一条定律指出，连合的否定是否定的析取：[latex]\neg(P \land Q) \iff (\neg P) \lor (\neg Q)[/latex].第二种说法是，析取的否定是否定的合取：[latex]\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)[/latex].

可微分流形是一个局部类似于欧几里得空间的拓扑空间，允许微积分的应用。每个点都有一个与 [latex]\mathbb{R}^n[/latex] 的开放子集同构的邻域。这些局部坐标系被称为图，它们通过平稳过渡函数相互关联，形成了定义流形可微分结构的图集。

数字电子技术以布尔代数为基础，布尔代数是乔治-布尔提出的一种数学逻辑系统。它使用两个值，通常是 0 和 1（或假和真），以及三种基本运算：AND（连接）、OR（析取）和 NOT（否定）。这些运算直接对应于构成所有数字电路构件的逻辑门。

素数定理描述了素数在整数中的渐近分布。它指出，质数计数函数 [latex]\pi(x)[/latex]（给出小于或等于 [latex]x[/latex] 的质数个数）在渐近上等价于 [latex]x / \ln(x)[/latex]。形式上，[latex]lim_{x \to \infty}\frac\{pi(x)}{x/\ln(x)} = 1[/latex]。这提供了素数和自然对数之间的基本联系。.

该定理指出，对于映射紧凑凸集到自身的任何连续函数 [latex]f[/latex]，存在一个点 [latex]x_0[/latex]，使得 [latex]f(x_0) = x_0[/latex]。这个点称为定点。非正式地讲，如果把一个国家的地图揉成一团，然后放在这个国家的边界内，那么地图上总会有至少一个点在其对应的现实世界位置的正上方。