准确度与精确度

函数[latex]s(x)[/latex]的傅里叶级数系数（周期为[latex]P[/latex]）通过积分公式计算得出。 直流分量为 [latex]a_0 = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) , dx[/latex]。余弦系数为 [latex]a_n = \frac{2}{P} int_{P} s(x) \cos\left(\frac{2pi n x}{P}\right) , dx[/latex]，正弦系数为 [latex]b_n = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) , dx[/latex]（当 [latex]n ≥ 1[/latex] 时）。.

线性偏微分算子 [latex]L[/latex] 的基本解是方程 [latex]Lu = delta(x)[/latex] 的解，其中 [latex]delta(x)[/latex] 是 Dirac delta 函数。它表示系统对点源或脉冲的响应。一旦知道了非均相方程 [latex]Lu = f(x)[/latex] 的解，就可以通过卷积求得：[latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], 其中 [latex]G[/latex] 为基本解。

高斯-波奈定理将紧凑二维曲面的几何与拓扑联系起来。它指出，整个曲面 [latex]M[/latex] 上的高斯曲率积分 [latex]K[/latex] 等于曲面的欧拉特性 [latex]2\pi[/latex] 乘以欧拉特性 [latex]/chi(M)[/latex]。公式为 [latex]\int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

黎曼几何是微分几何的一个分支，研究黎曼流形——具有黎曼度量的光滑流形。该度量是切空间上内积的集合，其值随点而平滑变化。它允许定义局部几何概念，例如角度、曲线长度、表面积和体积，从而引出广义的曲率概念。

在线性代数中，秩-零度定理指出：对于任意有限维向量空间之间的线性映射 [latex]T: V \to W[/latex]，其定义域维数 [latex]V[/latex] 等于其秩（像的维数）与零度（核的维数）之和。 其公式为：\dim(V) = \text{rank}(T) + \text{nullity}(T)。.

素数定理描述了素数在整数中的渐近分布。它指出，质数计数函数 [latex]\pi(x)[/latex]（给出小于或等于 [latex]x[/latex] 的质数个数）在渐近上等价于 [latex]x / \ln(x)[/latex]。形式上，[latex]lim_{x \to \infty}\frac\{pi(x)}{x/\ln(x)} = 1[/latex]。这提供了素数和自然对数之间的基本联系。.

傅里叶级数将任何周期函数或信号分解为简单振荡函数（即正弦与余弦函数）的和。对于周期为[latex]P[/latex]的函数[latex]s(x)[/latex]， 其级数表示为：[latex]s(x) \approx \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right)\right][/latex]。 项[latex]a_n[/latex]和[latex]b_n[/latex]即为傅里叶系数。.

Theorema Egregium（拉丁语，意为 "显著定理"）指出，曲面的高斯曲率是一种固有属性。这意味着它只取决于如何测量曲面本身的距离，而不取决于曲面如何嵌入三维空间。一张平纸在不拉伸的情况下可以卷成圆柱体，但不能卷成球体。

为了使傅里叶级数收敛到函数值，该函数必须在一个周期内满足狄利克雷条件。这些条件是：（1）该函数必须是绝对可积的；（2）它必须有有限个极值点（极大值和极小值）；（3）它必须有有限个有限间断点。

德摩根定律是布尔代数中的一对变换规则，是数字电路设计的基础。第一条定律指出，连合的否定是否定的析取：[latex]\neg(P \land Q) \iff (\neg P) \lor (\neg Q)[/latex].第二种说法是，析取的否定是否定的合取：[latex]\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)[/latex].

可微分流形是一个局部类似于欧几里得空间的拓扑空间，允许微积分的应用。每个点都有一个与 [latex]\mathbb{R}^n[/latex] 的开放子集同构的邻域。这些局部坐标系被称为图，它们通过平稳过渡函数相互关联，形成了定义流形可微分结构的图集。

数字电子学基于布尔代数，这是一种由乔治·布尔提出的逻辑数学系统。它使用两个值，通常是0和1（或真和假），以及三种基本运算：与（AND）、或（OR）和非（NOT）。这些运算直接对应于构成所有数字电路基本单元的逻辑门。

同胚是指两个拓扑空间之间的连续函数，且该函数存在连续的逆函数。如果这样的函数存在，则称两个拓扑空间是同胚的。从拓扑学的角度来看，同胚空间是相同的。这个概念体现了物体可以被拉伸、弯曲或变形为另一个物体而不会撕裂或粘合的思想，例如将咖啡杯变成甜甜圈。

吉布斯现象描述了傅里叶级数在跳跃不连续点处的行为。级数的部分和在跳跃点附近会出现一个过冲，并且随着级数项数的增加，这个过冲并不会消失。无论级数项数如何，这个过冲最终都会收敛到一个约为跳跃高度9%的常数值。