Statistical tests are the only way in quality and manufacturing to provide objective evidence for decision-making. They help identify variations in processes and distinguish between random fluctuations and actual problems. In engineering, statistics help identify patterns, outliers, and sources of failure in system performance, ensuring data-driven decision-making. By rigorously analyzing experimental results, engineers can validate product designs and manufacturing processes, detecting potential problems before implementation. This systematic approach reduces the risk of unexpected failures and enhances overall safety by ensuring reliability and compliance with international safety standards.
This post will review main statistical tests used in manufacturing and Total Quality Management (TQM).
注：由于也涉及工程、研究和科学，以下 2 项统计测试和分析
- 相关性分析： 衡量两个变量之间关系的强度和方向（如皮尔逊相关系数）。
- 回归分析： 从简单的线性回归到多元回归，研究变量（如输入因素和过程输出）之间的关系。
这里不包括这些算法，而是专门介绍工程学的 10 种主要算法。
正态性检验
在统计检验领域，许多常用的统计方法（t 检验、方差分析、线性回归等）都假定数据是正态/高斯分布的（或残差/误差是正态的）。违反这一假设会使结果不可靠：P 值可能会误导人，置信区间可能会出错，I/II 类错误的风险也会增加。请注意，有些检验（如单因素方差分析）可以很好地处理非正态分布。
注意：如果您的数据不符合正态性，请参阅下面的实际案例，您可能需要使用非参数检验（如 Mann-Whitney U 检验或 Kruskal-Wallis 检验），这些检验不假定数据符合正态性，或者对数据进行转换，这不在本篇文章的讨论范围之内。
虽然有多种统计检验方法，但在此我们将详细介绍 Shapiro-Wilk 检验方法，该方法尤其适用于小样本量，通常 n < 50，但也可用于多达 2000 个样本。
顺便提一下，其他常见的正态性检验：
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- Kolmogorov-Smirnov (K-S) 检验（带 Lilliefors 校正）：样本量较大时效果更好，但灵敏度不如 Shapiro-Wilk，尤其是在小数据集上
- 安德森-达林检验：适用于所有样本量，对分布的尾部（极值）更敏感，对检测极值偏离正态性更强。
如何进行 Shapiro-Wilk 正态性检验
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1.计算或计算 Shapiro-Wilk 检验统计量 (W)： [latex]W = \frac{left(\sum_{i=1}^{n} a_i x_{(i)}\right)^2}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}[/latex] Note: as the calculation of the [latex]a_i[/latex] coefficients is nontrivial and generally requires a table or algorithm, which is why the Shapiro-Wilk test is nearly always computed by software such as R, Python’s SciPy, MS Excel add-ons or other dedicated softwares. 如需手动计算，请参见本页 提供了最多 50 个样本的所有 [latex]a_i[/latex] 系数和 p 值。 W 值介于 0 和 1 之间（W = 1：完全正态性。W<1：离 1 越远，数据越不正常）。 2.W 是不够的。它需要与相应的 p 值结合起来才能得到置信水平。在 Shapiro-Wilk 表中，在 在 n 个样本量的行中，查找与计算出的 W 值最接近的值，并获取其对应的 顶部的 p 值 |
分子表示加权有序样本值的平方和。 分母是与样本平均数的平方差之和（即样本方差，按 (n-1) 缩放）。 [latex]x_{(i)}[/latex] = 第 i 阶统计量（即样本中第 i 个最小值） [latex]x_i[/latex] = 第 i 个观测值 [latex]\bar{x}[/latex] = 样本平均数 [latex]a_i[/latex] = 根据标准正态分布（(N(0,1)）样本阶次统计量的均值、方差和协方差计算得出的常量（权重），且仅取决于 n（样本数）。 n = 样本数量 |
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3. 结果 如果 p 值大于所选的α水平（例如 0.05），则有统计证据表明所测试的数据是正态分布的。 |
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对于正态性检验，通常建议将数字方法与图形方法（如亨利线、Q-Q 图或直方图）相结合：
心智非正态分布！
虽然正态分布/高斯分布是最常见的情况，但不应自动假定为正态分布/高斯分布。日常的反例有
- 个人之间的财富和收入分配。它遵循帕累托（幂律）分布，偏斜的 "长尾 "是非常富有的个人。
- 一个国家的城市人口规模遵循齐普夫定律（幂律），即几个非常大的城市和许多小城镇。
- 地震的震级和频率呈幂律/古腾堡-里克特分布：小地震常见，大地震罕见。
- 金融市场的每日价格变化或回报：肥尾/重尾分布，而非高斯分布；大偏差出现的频率高于正态分布的预测。
- 语言中的词频，正如上述城市人口一样，遵循齐普夫定律（幂律）：经常使用的词很少，大多数词都很罕见。
- 互联网流量/网站受欢迎程度：幂律/长尾：有些网站的点击率高达数百万次，而大多数网站的点击率却很低。
- 计算机系统上的文件大小：对数正态分布或幂律分布，大文件少，小文件多。
- Human lifespans/longevity: right-skewed (can model with Weibull or Gompertz distributions), not normal; more people die at older ages.
- 社交网络连接遵循幂律：少数用户的连接数多，多数用户的连接数少。
其中大多数的特点是 "少大多小"，是幂律、重尾、指数或对数正态分布的特征，而不是高斯分布的对称形状。
t 检验（学生 t 检验）
t 检验（又称 "学生 t"）由威廉-西利-戈塞特（William Sealy Gosset）于 1908 年以 "学生 "的笔名提出，是一种统计检验，用于在样本量较小且群体方差未知的情况下比较均值。它侧重于比较两个群体的均值，是制造业中最常用的检验之一。
目的是 the t-Test helps engineers and quality professionals determine if there is a statistically significant difference between the means of two groups or between a sample mean and a known standard. It’s commonly used in hypothesis testing to evaluate whether process changes or product modifications have led to real improvements or differences, beyond what could be expected by chance.
行业实例：
- 在汽车制造领域，t 检验可用于比较来自两个不同供应商的钢材的抗拉强度，以确保质量的一致性。
- 在制药领域，t 检验用于分析新生产工艺生产的药片的平均重量是否与标准有显著差异。
- 在电子学中，工程师可能会使用 t 检验来验证是否存在...
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2人评论了“The 6 Must-know Statistical Tests for Quality & Engineering”
有趣的阅读！但在非正态分布中，参数检验（如 t 检验）是否会产生误导？很想听听您的看法！
当然，但即使是非参数检验也有一些缺陷