想象一下一个繁忙的配送中心，机器和工人需要在各个工作区和存储区之间高效移动。为了满足严格的时间限制并降低成本和其他因素，路线规划必须精妙。这一挑战正是历史上所谓的旅行商问题（TSP）的核心所在。它不仅应用于物流领域。本文将探讨旅行商问题在现实生活和制造业中的应用，并着眼于如何改进各行各业的路线规划。
虽然这个问题是纯数学和算法研究中的经典问题，在物流领域也有更实用的研究方法，但在其他行业和制造领域几乎无人知晓。
这篇文章特别关注我们的文章 "工程学中需要了解的 10 种主要算法和方法 "中的一种算法。
关键要点
- 旅行推销员问题（TSP）是在几个点之间寻找最优化的路线。
- 这一问题在 1930-1940 年间开始受到关注。
- 它有助于各组织提高效率、降低运营成本、限制资源和改善服务提供。
- 这个问题广泛适用于不同部门和行业，而不仅仅是物流和运输业。
- 只要点数超过 12-20 个，问题就会变得过于复杂，无法计算出完美的解决方案
- 为了找到好的近似值，人们发明了几种算法，但并非完美的近似值
什么是旅行推销员问题？
旅行推销员问题 寻找最有效的方式，让销售人员访问各个城市，然后返回起点。他必须在每个城市只停留一次，并尽可能缩短总路程。
要理解 TSP 的定义，就要知道路线的数量会随着城市的增加而增加。例如，四个城市意味着有 24 条可能的路径。增加更多城市就会增加挑战，导致需要考虑的潜在路线过多。
许多企业，如物流、电信和制造业企业，经常面临这个问题。解决巡回推销员问题的好办法可以节约成本，提高效率。 它展示了与数学相关的理论研究如何帮助解决现实生活中的问题。
为什么这是一个问题？
如果有 n 个城市，则有 (n-1)！/2 条独特的旅游线路（如果旅游线路是循环的，且方向无关紧要，则会出现 /2）。
此外，输入的细微变化（如距离或新城市）会完全改变最佳路线，从而使问题变得高度敏感和复杂。 |
访问过的城市 | 可能的路线/组合 |
| 3 | 6 | |
| 4 | 24 | |
| 5 | 120 | |
| 6 | 720 | |
| 7 | 5040 | |
| …… | …… | |
| 20 | 6 × 1016 (如果每条路线的计算只需要一微秒，则需要近两千年）。 | |
| 25 | 如果每条路线的计算需要一微秒的时间，那么它就会比我们的宇宙年龄还长 |
旅行推销员问题的历史
旅行推销员问题起源于 20 世纪初，这要归功于一些聪明的数学家。威廉-罗文-汉密尔顿（William Rowan Hamilton）和卡尔-门格尔（Karl Menger）是帮助我们了解如何在复杂路径上航行的大人物。他们真正关注的是如何更容易地找到最佳路线。
到 20 世纪 30 年代，人们开始更清晰地定义 TSP。来自维也纳和哈佛大学的学者们就此展开了合作。他们开始发现它可以解决实际问题，比如改善校车路线。这让更多人对解决 TSP 问题产生了兴趣。
TSP 对企业，尤其是航运和运输企业超级有用。二十世纪五六十年代，兰德公司挺身而出。他们提出了解决 TSP 的巧妙方法，这些方法成为使物流更加顺畅的关键部分。
为什么这是一个 NP 难问题？
旅行推销员问题（Traveling Salesman Problem）是计算机科学中的一个难题。它之所以被称为 "NP-hard "难题，是因为如果有很多城市，它的增长速度会呈指数级增长，超出任何计算机的处理能力，因此很难解决。
什么是 "NP-困难 "问题？ 在计算机科学和计算复杂性理论中，"NP "代表非确定多项式时间。一个 NP-困难问题至少和 NP 中最难的问题一样难，这意味着 NP 中的每个问题都可以用多项式时间还原成 NP-困难问题。与 NP-完全问题不同的是 可以在多项式时间内验证、 吨目前还没有一种已知算法能在多项式时间内解决 NP 难问题。
正因为如此，专家们使用特殊的快捷方式和聪明的猜测。这些技巧可以帮助他们找到相当不错的路径，而不需要不可能达到的计算能力，就能得到一个在现实生活中足够好用的像样的解决方案。请看下一章，其中一些方法可以帮助他们处理大量可能的路径。
工业应用
旅行推销员问题 不同行业 让路线和流程等事情变得更好。物流、运输和制造等许多领域都使用 TSP 来简化工作。TSP 近似解决方案及其变体可用于以下领域：
运输与最初的推销员问题最相似的用法： |
路由
 企业可以在网络设计中以最佳方式设置网络节点，以减少信号损失并提高性能。 |
制造与机械 |
内部物流
它有助于为设备和生产线智能规划路径。这意味着机器和装配线的布局更加合理，节省了时间，提高了速度，并有助于 人体工程学.
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科学与研究
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快速逼近最佳答案的方法
虽然要列举和提供近 100 年来对这一主题的科学研究的所有细节不在本篇文章的范围之内，但以下是目前使用的一些方法。
这些方法并不总能找到最佳解决方案，但它们能在不花费大量时间的情况下找到相当接近的解决方案。
- 近邻（NN）启发法
- 过程：从一个随机城市开始；重复访问最近的未访问城市，直到访问完所有城市。
- 优点：快速、简单，但并不总是接近最佳状态。
- 克里斯托菲德斯的算法
- 过程：使用最小生成树和完美匹配（保证在 1.5 倍最优公制 TSP 范围内求解）建立巡回。
- 优点：最著名的公制 TSP 性能保证。
- 贪婪算法
- 过程：在每一步中，选取不构成循环的最短可用边（最后一条边除外）。
- 优点：速度快，但通常不是最佳状态。
- 2-opt 和 k-opt 本地搜索
- 过程：用不同的边迭代替换游程中的 k 条边，以减少总长度（2-opt、3-opt 很常见）。
- 优点：大大改进了初始启发式方法，广泛用于后处理。
- 遗传算法 (GA)
- 过程：使用基于种群的搜索，通过交叉和变异，在一代代进化出更好的解决方案。
- 优点：灵活，可以摆脱局部最小值。
- 模拟退火（SA）
- 过程：偶尔概率性地接受较差的解决方案，以避免局部最优，逐渐降低 "温度"。
- 优点：对复杂的搜索空间有效。
Other notable methods: ant colony optimization, Tabu Search, Lin-Kernighan heuristic.
关于 TSP 的结论
旅行推销员问题（TSP）对许多行业都至关重要，但对某些行业来说却仍是未知数。由此可见，它对提高效率和节约成本有多么重要。许多组织已经使用 TSP 解决方案来改进其路线和工作计划。
找到解决这个老问题的新方法，显示了它的持久价值。 人工智能和机器学习改进的算法等技术的进步，将为解决这一难题开辟新的途径。这一进步将真正开辟新的道路，使运营战略更加完善，并帮助企业更高效地简化流程。
相关阅读
- Combinatorial Optimization Algorithms: exact and heuristic methods like Genetic Algorithms, Simulated Annealing
- Graph Theory and Network Analysis: 汉密尔顿 cycles, shortest path algorithms
- Operations Research: linear programming, integer programming
- Computational Complexity Theory: NP-hardness characterization
- Meta Heuristics and Swarm Intelligence: ant colony pptimization, particle swarm optimization in solving TSP
常问问题
什么是旅行推销员问题（TSP）？
旅行推销员问题（TSP）是一道重要的难题。它的目的是找到一条最短的路径，只访问每个地点一次，然后返回起点。这对于需要高效规划路线的企业来说至关重要。主要的挑战在于可能的路线数量巨大，每增加一个新地点，数量就会增加。此外，交通和截止日期等现实问题也增加了规划的难度。
为什么 TSP 被认为是 NP 难问题？
TSP 的难度很大，因为每增加一个城市，潜在路线的数量就会成倍增加。这就很难快速找到最佳路线，尤其是当增加的地点超过 20 个时。
TSP 有哪些常见应用？
TSP 可用于许多领域，如提高送货路线的效率和管理供应链。在医疗保健领域，它还可以帮助安排就诊时间；在机器人领域，它可以引导机器人运动；在制造电子领域，它可以定位或测试小型部件和铜线。
图论和启发式算法与 TSP 有什么关系？
图论是 TSP 背后的数学原理。它用点（顶点）表示城市，用线（边）表示城市之间的路径。这有助于开发有效解决 TSP 问题的方法。启发式算法是解决 TSP 的智能捷径。它们有助于快速找到足够好的路径，即使它们并不完美。近邻算法和贪婪算法就是常见的例子。模拟退火和遗传算法等技术也特别适用于大型问题。
TSP 如何影响供应链效率？
TSP 通过完善运输路线来提高供应链效率。这将降低成本，更好地利用资源，并改善每个相关人员之间的协调。在医疗保健领域，TSP 可优化家庭护理和急救服务的提供方式。它能确保医疗用品及时送达，提高病人的整体护理水平和满意度。
常用术语表
Deoxyribonucleic Acid (DNA): 一种由两条链构成双螺旋结构的分子，由核苷酸组成，通过腺嘌呤、胸腺嘧啶、胞嘧啶和鸟嘌呤四种碱基的序列编码遗传信息。它是大多数生物体的遗传物质。
Printed Circuit Board (PCB): 一种由绝缘材料制成的平板，用于支撑并通过导电通路连接电子元件，通常由铜片蚀刻而成。它作为电路组装的基础，并有助于元件之间的电气连接。
Unmanned Aerial Vehicle (UAV): 一种无需飞行员在机上操控的遥控或自主飞行器，可用于监视、侦察和物资投放等多种用途。它通过地面控制站或机载自动化系统进行操作，通常配备传感器和摄像头用于数据采集。
Very-large-scale Integration (VLSI): 一种通过在单个芯片上组合数千到数百万个晶体管来创建集成电路的技术，使复杂的电子系统小型化并提高计算机和智能手机等设备的性能、功率效率和功能。
