代数学の基本定理によれば、複素係数を持つ定数でない一変数多項式はすべて少なくとも１つの複素根を持ちます。これにより、複素数の体は代数的に閉じていることが保証され、実数では解けない多項式方程式も複素数では解けるようになります。多項式 [latex]p(z) = a_n z^n + dots + a_1 z + a_0[/latex] に対して、[latex]p(z_0) = 0[/latex] となるような [latex]z_0 が mathbb{C}[/latex] に存在します。
代数学の基本定理
1799
- Carl Friedrich Gauss
- Jean le Rond d’Alembert
（画像はイメージです）
The theorem is a cornerstone of algebra, asserting the completeness of the complex number system for polynomial equations. While its statement is straightforward, its proof is not purely algebraic and typically requires concepts from analysis or topology. The theorem implies that any polynomial of degree [latex]n[/latex] can be factored into [latex]n[/latex] linear factors over the complex numbers: [latex]p(z) = a_n(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n)[/latex], where [latex]z_1, \dots, z_n[/latex] are the complex roots. This factorization is unique up to the ordering of the roots.
歴史的に見ると、このような定理の必要性は多項式方程式の研究から生じた。16世紀、カルダーノやタルタリアといったイタリアの数学者は、負の数の平方根を含む三次方程式や四次方程式の解を見つけ、複素数の必要性を示唆した。しかし、正式な定理の記述と証明の試みは後になってから行われた。ダランベールは1746年に重要な試みを行ったが、彼の証明には欠陥があった。カール・フリードリヒ・ガウスは1799年の博士論文で、実質的に最初の厳密な証明を行ったとされているが、現代の基準からすると、彼の証明にも位相的な欠陥がいくつかあった。彼は後に、他にもいくつかの異なる証明を発表している。
UNESCO Nomenclature: 1101
代数
タイプ
抽象システム
混乱
基礎
使用法
広く普及している
前駆物質
- 三次方程式と四次方程式の解の発見（カルダーノ、タルタリア）
- 複素数の導入と形式化（ボンベリ、オイラー）
- デカルトの符号法則による実根の数の制限
- 係数と根の関係に関する初期の研究（ヴィエトの公式）
アプリケーション
- 制御理論（線形システムの安定性解析）
- signal processing (z-transform analysis)
- 量子力学（エネルギー固有値を求める特性方程式の解法）
- 電気工学（フェーザを用いた回路解析）
特許:
NA
潜在的なイノベーションのアイデア
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関連: 代数学の基本定理、複素数、多項式の根、代数的に閉じた体、ガウス、ダランベール、複素解析、多項式の因数分解、1の根、1変数多項式。
歴史的背景
代数学の基本定理
（日付が不明または関連性がない場合、例えば「流体力学」などでは、その注目すべき出現時期の概算値が提示されます。）
