ユークリッドの補題

無理数とは、整数 p とゼロ以外の整数 q の比 [latex]p/q[/latex] で表すことができない実数のことです。言い換えれば、無理数は有理数ではない実数です。無理数の小数表現は無限に続き、永久に繰り返されるパターンに入ることもありません。

実数が有理数であるのは、その小数表現が周期的である場合に限ります。周期的とは、桁の並びが最終的に有限の桁の並びを無限に繰り返すことを意味します。この繰り返される部分を循環小数と呼びます。例えば、[latex]1/3 = 0.333...[/latex] (循環小数は '3')、[latex]3/7 = 0.428571428571...[/latex] (循環小数は '428571') です。有限小数は、循環小数が '0' となる特殊なケースです。

ベズーの定理は、交点理論における基本的な定理です。この定理は、代数的に閉じた体上の射影平面上で計算を行い、重複する点を数え、平行な漸近線が交わる無限遠点も含める場合、次数 [latex]m[/latex] と [latex]n[/latex] の 2 つの平面代数曲線の交点の数は正確に [latex]mn[/latex] であると主張しています。

代数学の基本定理によれば、複素係数を持つ定数でない一変数多項式はすべて少なくとも１つの複素根を持ちます。これにより、複素数の体は代数的に閉じていることが保証され、実数では解けない多項式方程式も複素数では解けるようになります。多項式 [latex]p(z) = a_n z^n + dots + a_1 z + a_0[/latex] に対して、[latex]p(z_0) = 0[/latex] となるような [latex]z_0 が mathbb{C}[/latex] に存在します。

この定理は、1より大きいすべての整数は素数であるか、素数の積として一意に表すことができる（因数の順序は問わない）ことを述べています。例えば、[latex]1200 = 2^4 times 3^1 times 5^2[/latex]です。この一意的な因数分解は数論の基礎であり、整数の基本的な乗法構造を提供します。

正の整数 n の標準表現、または標準形式は、素数を昇順に並べた素数のべき乗の積として表される、その整数の一意な素因数分解です。任意の整数 n > 1 に対して、n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} cdots p_k^{a_k} と表すことができます。ここで、p_1 < p_2 < cdots < p_k は素数であり、指数 a_i は正の整数です。

コーシー初期値問題に関連する偏微分方程式に関する基本的な存在と一意性定理。偏微分方程式と初期条件が「解析的」（収束するべき級数で表現できる）であれば、初期曲面の近傍に一意の解析解が存在することを述べている。局所的な存在性は保証されるが、大域的な挙動や適切性については扱っていない。

ユークリッドの定理は、素数は無限に存在すると述べています。古典的な証明は背理法です。まず、すべての素数の有限リスト [latex]p_1, p_2, dots, p_n[/latex] を仮定します。次に、[latex]P = p_1 p_2 cdots p_n + 1[/latex] という数を考えます。この数 [latex]P[/latex] は素数であるかそうでないかのどちらかです。素数であれば、リストにない新しい素数となります。

有理数とは、整数 p とゼロ以外の整数 q を用いて、分数または商 p/q で表せる数のことです。すべての有理数の集合は、Q で表されます。この基本的な概念は、整数を分数に拡張し、全体の一部を表すことを可能にします。

偏微分方程式（PDE）とは、多変数関数の様々な偏導関数間の関係を規定する方程式です。この関数はしばしば未知数と呼ばれ、PDEはこの未知関数とその導関数間の関係を記述します。単一変数の関数を扱う常微分方程式（ODE）とは異なり、PDEは多次元システムのモデリングにおいて不可欠な要素です。

1階偏微分方程式および双曲型2階偏微分方程式（PDE）を解くための手法。この手法では、PDEを「特性曲線」と呼ばれる特定の曲線に沿った常微分方程式（ODE）の族に還元します。これらの曲線に沿ってPDEは簡略化され、ODE系を積分することで解を求めることができます。特に、輸送現象や波動伝播に関する問題に有効です。

代数学の基本定理の直接的な帰結として、実数係数を持つ定数でない多項式は、すべて実数係数を持つ線形因子と既約二次因子の積に因数分解できる。線形因子は実根に対応し、既約二次因子は複素共役根のペア[latex]a pm bi[/latex]に対応する。

超越数とは、代数的ではない実数または複素数のことです。つまり、整数（または有理数）係数を持つゼロでない多項式方程式の根ではない数です。すべての超越数は無理数ですが、すべての無理数が超越数であるとは限りません（例えば、[latex]sqrt{2}[/latex]は無理数ですが、[latex]x^2 - 2 = 0[/latex]の根なので代数的です）。

有理数の集合 [latex]mathbb{Q}[/latex] は、任意の異なる 2 つの有理数の間に別の有理数が存在するという稠密性を持つにもかかわらず、可算無限です。これは、すべての有理数を自然数 [latex]mathbb{N} = {1, 2, 3, ...}[/latex] と 1 対 1 で対応させることができることを意味します。この驚くべき結果は、[latex]mathbb{Q}[/latex] が [latex]mathbb{N}[/latex] および [latex]mathbb{Z}[/latex] と同じ濃度を持つことを示しています。