Il teorema di Gauss-Bonnet

Equazione differenziale parziale parabolica lineare fondamentale del secondo ordine che descrive la distribuzione del calore o altri processi di diffusione. La sua forma canonica è [latex]\frac{parziale u}{parziale t} = \alpha \nabla^2 u[/latex], dove [latex]u(\vec{x},t)[/latex] è la temperatura, [latex]t[/latex] è il tempo e [latex]\alpha[/latex] è la diffusività termica. Le soluzioni modellano l'evoluzione della distribuzione iniziale della temperatura, attenuando le irregolarità nel tempo e avvicinandosi a uno stato stazionario.

I coefficienti della serie di Fourier di una funzione [latex]s(x)[/latex] con periodo [latex]P[/latex] sono calcolati utilizzando formule integrali. La componente DC è [latex]a_0 = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) , dx[/latex]. I coefficienti coseno sono [latex]a_n = \frac{2}{P} int_{P} s(x) \cos\left(\frac{2pi n x}{P}\right) , dx[/latex], mentre i coefficienti seno sono [latex]b_n = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) , dx[/latex] per [latex]n ge 1[/latex].

Una soluzione fondamentale di un operatore differenziale parziale lineare [latex]L[/latex] è una soluzione dell'equazione [latex]Lu = delta(x)[/latex], dove [latex]delta(x)[/latex] è la funzione delta di Dirac. Essa rappresenta la risposta del sistema a una sorgente puntiforme o a un impulso. Una volta nota, la soluzione dell'equazione disomogenea [latex]Lu = f(x)[/latex] può essere trovata mediante convoluzione: [latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], dove [latex]G[/latex] è la soluzione fondamentale.

L'accuratezza si riferisce alla vicinanza di un valore misurato a uno standard o a un valore vero noto. La precisione si riferisce alla vicinanza di due o più misurazioni tra loro. Un sistema di misura può essere preciso ma non accurato, accurato ma non preciso, nessuno dei due, o entrambi. Questi due concetti sono indipendenti l'uno dall'altro nella teoria della misura.

La geometria riemanniana è la branca della geometria differenziale che studia le varietà riemanniane, ovvero varietà lisce dotate di una metrica riemanniana. Questa metrica è un insieme di prodotti scalari sugli spazi tangenti, che variano in modo uniforme da punto a punto. Permette la definizione di nozioni geometriche locali come angolo, lunghezza delle curve, area superficiale e volume, portando a una nozione generalizzata di curvatura.

Nell'algebra lineare, il teorema di rango-nullità afferma che per qualsiasi mappa lineare [latex]T: V \to W[/latex] tra spazi vettoriali di dimensione finita, la dimensione del suo dominio [latex]V[/latex] è la somma del suo rango (la dimensione della sua immagine) e della sua nullità (la dimensione del suo kernel). La formula è [latex]\dim(V) = \text{rango}(T) + \text{nullità}(T)[/latex].

L'inferenza bayesiana è un metodo statistico in cui il teorema di Bayes viene utilizzato per aggiornare la probabilità di un'ipotesi man mano che diventano disponibili ulteriori prove o informazioni. È un principio fondamentale della statistica bayesiana. L'idea fondamentale è espressa come segue: la probabilità a posteriori è proporzionale al prodotto della probabilità a priori e della verosimiglianza, [latex]p(\theta|D) \propto p(D|\theta)p(\theta)[/latex], dove [latex]\theta[/latex] è il parametro e D sono i dati.

Una serie di Fourier scompone qualsiasi funzione o segnale periodico in una somma di semplici funzioni oscillanti, ovvero seni e coseni. Per una funzione [latex]s(x)[/latex] con periodo [latex]P[/latex], la serie è data da [latex]s(x) \approx \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right)\right][/latex]. I termini [latex]a_n[/latex] e [latex]b_n[/latex] sono i coefficienti di Fourier.

Il Teorema Egregium (in latino "Teorema notevole") afferma che la curvatura gaussiana di una superficie è una proprietà intrinseca. Ciò significa che dipende solo dal modo in cui le distanze sono misurate sulla superficie stessa, non da come la superficie è inserita nello spazio tridimensionale. Un foglio di carta piatto può essere arrotolato in un cilindro ma non in una sfera senza allungarsi.

Affinché una serie di Fourier converga al valore della funzione, la funzione deve soddisfare le condizioni di Dirichlet su un periodo. Queste sono: (1) la funzione deve essere assolutamente integrabile, (2) deve avere un numero finito di estremi (massimi e minimi) e (3) deve avere un numero finito di discontinuità finite.

Le leggi di De Morgan sono una coppia di regole di trasformazione dell'algebra booleana, fondamentali per la progettazione di circuiti digitali. La prima legge afferma che la negazione di una congiunzione è la disgiunzione delle negazioni: [latex]\neg(P ´land Q) ´iff (´neg P) ´lor (´neg Q)[/latex]. La seconda afferma che la negazione di una disgiunzione è la congiunzione delle negazioni: [latex]\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)[/latex].

Un manifesto differenziabile è uno spazio topologico localmente simile allo spazio euclideo, che consente di applicare il calcolo. Ogni punto ha un vicinato che è omeomorfo a un sottoinsieme aperto di [latex]\mathbb{R}^n[/latex]. Questi sistemi di coordinate locali, detti grafici, sono correlati da funzioni di transizione lisce, che formano un atlante che definisce la struttura differenziabile del manifold.

L'elettronica digitale si basa sull'algebra booleana, un sistema logico matematico introdotto da George Boole. Utilizza due valori, tipicamente 0 e 1 (o falso e vero), e tre operazioni di base: AND (congiunzione), OR (disgiunzione) e NOT (negazione). Queste operazioni corrispondono direttamente alle porte logiche che costituiscono i componenti fondamentali di tutti i circuiti digitali.

Un omeomorfismo è una funzione continua tra due spazi topologici che ha una funzione inversa continua. Due spazi topologici sono detti omeomorfi se tale funzione esiste. Da un punto di vista topologico, gli spazi omeomorfi sono identici. Questo concetto racchiude l'idea che un oggetto può essere allungato, piegato o deformato in un altro senza strapparsi o incollarsi, come una tazza da caffè in una ciambella.