Teorema Egregium di Gauss

Il teorema di Parseval mette in relazione l'energia totale di un segnale (l'integrale del suo quadrato su un periodo) con la somma delle energie al quadrato delle componenti della sua serie di Fourier. Per una funzione [latex]s(x)[/latex] con periodo [latex]P[/latex], il teorema afferma: [latex]\frac{1}{P} \int_P |s(x)|^2 , dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2[/latex], dove [latex]c_n[/latex] sono i coefficienti complessi di Fourier.

L'inferenza bayesiana è un metodo statistico in cui il teorema di Bayes viene utilizzato per aggiornare la probabilità di un'ipotesi man mano che diventano disponibili ulteriori prove o informazioni. È un principio fondamentale della statistica bayesiana. L'idea fondamentale è espressa come segue: la probabilità a posteriori è proporzionale al prodotto della probabilità a priori e della verosimiglianza, [latex]p(\theta|D) \propto p(D|\theta)p(\theta)[/latex], dove [latex]\theta[/latex] è il parametro e D sono i dati.

Una serie di Fourier scompone qualsiasi funzione o segnale periodico in una somma di semplici funzioni oscillanti, ovvero seni e coseni. Per una funzione [latex]s(x)[/latex] con periodo [latex]P[/latex], la serie è data da [latex]s(x) \approx \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right)\right][/latex]. I termini [latex]a_n[/latex] e [latex]b_n[/latex] sono i coefficienti di Fourier.

Affinché una serie di Fourier converga al valore della funzione, la funzione deve soddisfare le condizioni di Dirichlet su un periodo. Queste sono: (1) la funzione deve essere assolutamente integrabile, (2) deve avere un numero finito di estremi (massimi e minimi) e (3) deve avere un numero finito di discontinuità finite.

Le leggi di De Morgan sono una coppia di regole di trasformazione dell'algebra booleana, fondamentali per la progettazione di circuiti digitali. La prima legge afferma che la negazione di una congiunzione è la disgiunzione delle negazioni: [latex]\neg(P ´land Q) ´iff (´neg P) ´lor (´neg Q)[/latex]. La seconda afferma che la negazione di una disgiunzione è la congiunzione delle negazioni: [latex]\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)[/latex].

Un manifesto differenziabile è uno spazio topologico localmente simile allo spazio euclideo, che consente di applicare il calcolo. Ogni punto ha un vicinato che è omeomorfo a un sottoinsieme aperto di [latex]\mathbb{R}^n[/latex]. Questi sistemi di coordinate locali, detti grafici, sono correlati da funzioni di transizione lisce, che formano un atlante che definisce la struttura differenziabile del manifold.

Equazione differenziale parziale ellittica lineare del secondo ordine che descrive sistemi in condizioni di equilibrio o di stato stazionario. Si scrive come [latex]nabla^2 u = 0[/latex] o [latex]Delta u = 0[/latex], dove [latex]nabla^2[/latex] (o [latex]Delta[/latex]) è l'operatore di Laplace. Le soluzioni, chiamate funzioni armoniche, sono le funzioni più uniformi possibili e rappresentano i potenziali in campi come l'elettrostatica, la gravitazione e il flusso dei fluidi.

Un approccio standard per approssimare le soluzioni di sistemi sovradeterminati trovando i parametri del modello che minimizzano la somma delle differenze al quadrato tra i valori osservati e quelli previsti. Questa somma è nota come somma dei residui quadrati (SSR). L'obiettivo è trovare i parametri [latex]\hat{\beta}[/latex] che minimizzano la funzione [latex]S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex].

Equazione differenziale parziale parabolica lineare fondamentale del secondo ordine che descrive la distribuzione del calore o altri processi di diffusione. La sua forma canonica è [latex]\frac{parziale u}{parziale t} = \alpha \nabla^2 u[/latex], dove [latex]u(\vec{x},t)[/latex] è la temperatura, [latex]t[/latex] è il tempo e [latex]\alpha[/latex] è la diffusività termica. Le soluzioni modellano l'evoluzione della distribuzione iniziale della temperatura, attenuando le irregolarità nel tempo e avvicinandosi a uno stato stazionario.

I coefficienti della serie di Fourier di una funzione [latex]s(x)[/latex] con periodo [latex]P[/latex] sono calcolati utilizzando formule integrali. La componente DC è [latex]a_0 = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) , dx[/latex]. I coefficienti coseno sono [latex]a_n = \frac{2}{P} int_{P} s(x) \cos\left(\frac{2pi n x}{P}\right) , dx[/latex], mentre i coefficienti seno sono [latex]b_n = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) , dx[/latex] per [latex]n ge 1[/latex].

Una soluzione fondamentale di un operatore differenziale parziale lineare [latex]L[/latex] è una soluzione dell'equazione [latex]Lu = delta(x)[/latex], dove [latex]delta(x)[/latex] è la funzione delta di Dirac. Essa rappresenta la risposta del sistema a una sorgente puntiforme o a un impulso. Una volta nota, la soluzione dell'equazione disomogenea [latex]Lu = f(x)[/latex] può essere trovata mediante convoluzione: [latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], dove [latex]G[/latex] è la soluzione fondamentale.

Il teorema di Gauss-Bonnet collega la geometria di una superficie bidimensionale compatta alla sua topologia. Esso afferma che l'integrale della curvatura gaussiana [latex]K[/latex] sull'intera superficie [latex]M[/latex] è uguale a [latex]2\pi[/latex] per la caratteristica di Eulero [latex]\chi(M)[/latex] della superficie. La formula è [latex]int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

L'accuratezza si riferisce alla vicinanza di un valore misurato a uno standard o a un valore vero noto. La precisione si riferisce alla vicinanza di due o più misurazioni tra loro. Un sistema di misura può essere preciso ma non accurato, accurato ma non preciso, nessuno dei due, o entrambi. Questi due concetti sono indipendenti l'uno dall'altro nella teoria della misura.

La geometria riemanniana è la branca della geometria differenziale che studia le varietà riemanniane, ovvero varietà lisce dotate di una metrica riemanniana. Questa metrica è un insieme di prodotti scalari sugli spazi tangenti, che variano in modo uniforme da punto a punto. Permette la definizione di nozioni geometriche locali come angolo, lunghezza delle curve, area superficiale e volume, portando a una nozione generalizzata di curvatura.