Il problema dell'ago di Buffon

L'induzione matematica è una tecnica utilizzata per dimostrare che una proprietà [latex]P(n)[/latex] vale per ogni numero naturale [latex]n[/latex]. Essa si articola in due fasi: il caso base, che dimostra la veridicità di [latex]P(0)[/latex] o [latex]P(1)[/latex], e la fase induttiva, che dimostra che se [latex]P(k)[/latex] è vera per qualche numero naturale [latex]k[/latex] (l'ipotesi induttiva), allora anche [latex]P(k+1)[/latex] è vera.

Equazione differenziale parziale lineare iperbolica del secondo ordine che regola la propagazione di vari tipi di onde. Nella sua forma più semplice, si scrive come [latex]\frac{parziale^2 u}{parziale t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex], dove [latex]u(\vec{x},t)[/latex] è l'ampiezza dell'onda, [latex]c[/latex] è la velocità dell'onda e [latex]\nabla^2[/latex] è l'operatore di Laplace. Modella fenomeni come le corde vibranti, le onde sonore e le onde luminose.

La caratteristica di Eulero è un invariante topologico, un numero che descrive la struttura o la forma di uno spazio topologico indipendentemente da come viene piegato. Per i poliedri, è definita dalla formula [latex]\chi = V - E + F[/latex], dove V, E e F sono rispettivamente il numero di vertici, spigoli e facce. Per una sfera, [latex]\chi = 2[/latex], mentre per un toro, [latex]\chi = 0[/latex].

Il teorema di Parseval mette in relazione l'energia totale di un segnale (l'integrale del suo quadrato su un periodo) con la somma delle energie al quadrato delle componenti della sua serie di Fourier. Per una funzione [latex]s(x)[/latex] con periodo [latex]P[/latex], il teorema afferma: [latex]\frac{1}{P} \int_P |s(x)|^2 , dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2[/latex], dove [latex]c_n[/latex] sono i coefficienti complessi di Fourier.

L'inferenza bayesiana è un metodo statistico in cui il teorema di Bayes viene utilizzato per aggiornare la probabilità di un'ipotesi man mano che diventano disponibili ulteriori prove o informazioni. È un principio fondamentale della statistica bayesiana. L'idea fondamentale è espressa come segue: la probabilità a posteriori è proporzionale al prodotto della probabilità a priori e della verosimiglianza, [latex]p(\theta|D) \propto p(D|\theta)p(\theta)[/latex], dove [latex]\theta[/latex] è il parametro e D sono i dati.

Una serie di Fourier scompone qualsiasi funzione o segnale periodico in una somma di semplici funzioni oscillanti, ovvero seni e coseni. Per una funzione [latex]s(x)[/latex] con periodo [latex]P[/latex], la serie è data da [latex]s(x) \approx \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right)\right][/latex]. I termini [latex]a_n[/latex] e [latex]b_n[/latex] sono i coefficienti di Fourier.

Il teorema di Pitagora fornisce la base per la formula della distanza in coordinate cartesiane. La distanza d tra due punti (x₁, y₁) e (x₂, y₂) su un piano è data da d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)². Questa formula è un'applicazione diretta del teorema a un triangolo rettangolo i cui cateti sono le differenze tra le coordinate x e y.

Si tratta di un problema storicamente notevole in matematica. La sua risoluzione negativa da parte di Leonhard Euler nel 1736 ha posto le basi della teoria dei grafi e ha prefigurato l'idea di topologia. Il problema chiedeva se i sette ponti della città di Königsberg potessero essere attraversati tutti in un solo viaggio senza tornare indietro, e se il viaggio terminasse sulla stessa terraferma da cui era partito.

Teorema fondamentale della topologia e della geometria secondo il quale, per qualsiasi poliedro convesso, il numero di vertici (V), spigoli (E) e facce (F) è legato dalla formula [latex]V - E + F = 2[/latex]. Questo valore, 2, è la caratteristica di Eulero di una sfera, che rivela una profonda proprietà topologica indipendente dalla forma specifica del poliedro.

Il teorema di Bayes descrive la probabilità di un evento sulla base della conoscenza preliminare delle condizioni che potrebbero essere correlate all'evento stesso. Si tratta di un concetto fondamentale nella teoria della probabilità e nella statistica. Matematicamente, è espresso come [latex]P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex], dove A e B sono eventi e [latex]P(B) \neq 0[/latex]. Mette in relazione le probabilità condizionate e marginali di due eventi casuali.

Equazione differenziale parziale ellittica lineare del secondo ordine che descrive sistemi in condizioni di equilibrio o di stato stazionario. Si scrive come [latex]nabla^2 u = 0[/latex] o [latex]Delta u = 0[/latex], dove [latex]nabla^2[/latex] (o [latex]Delta[/latex]) è l'operatore di Laplace. Le soluzioni, chiamate funzioni armoniche, sono le funzioni più uniformi possibili e rappresentano i potenziali in campi come l'elettrostatica, la gravitazione e il flusso dei fluidi.

Un approccio standard per approssimare le soluzioni di sistemi sovradeterminati trovando i parametri del modello che minimizzano la somma delle differenze al quadrato tra i valori osservati e quelli previsti. Questa somma è nota come somma dei residui quadrati (SSR). L'obiettivo è trovare i parametri [latex]\hat{\beta}[/latex] che minimizzano la funzione [latex]S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex].

Equazione differenziale parziale parabolica lineare fondamentale del secondo ordine che descrive la distribuzione del calore o altri processi di diffusione. La sua forma canonica è [latex]\frac{parziale u}{parziale t} = \alpha \nabla^2 u[/latex], dove [latex]u(\vec{x},t)[/latex] è la temperatura, [latex]t[/latex] è il tempo e [latex]\alpha[/latex] è la diffusività termica. Le soluzioni modellano l'evoluzione della distribuzione iniziale della temperatura, attenuando le irregolarità nel tempo e avvicinandosi a uno stato stazionario.

I coefficienti della serie di Fourier di una funzione [latex]s(x)[/latex] con periodo [latex]P[/latex] sono calcolati utilizzando formule integrali. La componente DC è [latex]a_0 = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) , dx[/latex]. I coefficienti coseno sono [latex]a_n = \frac{2}{P} int_{P} s(x) \cos\left(\frac{2pi n x}{P}\right) , dx[/latex], mentre i coefficienti seno sono [latex]b_n = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) , dx[/latex] per [latex]n ge 1[/latex].