Method of Ordinary Least Squares (OLS)

Si tratta di un problema storicamente notevole in matematica. La sua risoluzione negativa da parte di Leonhard Euler nel 1736 ha posto le basi della teoria dei grafi e ha prefigurato l'idea di topologia. Il problema chiedeva se i sette ponti della città di Königsberg potessero essere attraversati tutti in un solo viaggio senza tornare indietro, e se il viaggio terminasse sulla stessa terraferma da cui era partito.

Teorema fondamentale della topologia e della geometria secondo il quale, per qualsiasi poliedro convesso, il numero di vertici (V), spigoli (E) e facce (F) è legato dalla formula [latex]V - E + F = 2[/latex]. Questo valore, 2, è la caratteristica di Eulero di una sfera, che rivela una profonda proprietà topologica indipendente dalla forma specifica del poliedro.

One of the earliest problems in geometric probability, it is considered a precursor to the Monte Carlo method. It involves dropping a needle of length [latex]l[/latex] onto a floor with parallel lines a distance [latex]t[/latex] apart. The probability that the needle will cross a line is [latex]P = \frac{2l}{\pi t}[/latex] (for [latex]l \le t[/latex]). This provides a physical experiment to estimate [latex]\pi[/latex].

Il Teorema Egregium (in latino "Teorema notevole") afferma che la curvatura gaussiana di una superficie è una proprietà intrinseca. Ciò significa che dipende solo dal modo in cui le distanze sono misurate sulla superficie stessa, non da come la superficie è inserita nello spazio tridimensionale. Un foglio di carta piatto può essere arrotolato in un cilindro ma non in una sfera senza allungarsi.

Il teorema di Gauss-Bonnet collega la geometria di una superficie bidimensionale compatta alla sua topologia. Esso afferma che l'integrale della curvatura gaussiana [latex]K[/latex] sull'intera superficie [latex]M[/latex] è uguale a [latex]2\pi[/latex] per la caratteristica di Eulero [latex]\chi(M)[/latex] della superficie. La formula è [latex]int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

L'accuratezza si riferisce alla vicinanza di un valore misurato a uno standard o a un valore reale noto. La precisione si riferisce alla vicinanza di due o più misure tra loro. Un sistema di misura può essere preciso ma non accurato, accurato ma non preciso, nessuno dei due o entrambi. Nella teoria della misurazione questi due concetti sono indipendenti l'uno dall'altro.

Il sistema di coordinate cartesiane fornisce un modello algebrico per la geometria euclidea. Utilizza uno o più numeri, o coordinate, per determinare in modo univoco la posizione di un punto nello spazio. In un piano, vengono utilizzate due rette perpendicolari (gli assi x e y), consentendo di descrivere le forme geometriche mediante equazioni algebriche. Questa fusione di algebra e geometria è nota come geometria analitica.

Equazione differenziale parziale lineare iperbolica del secondo ordine che regola la propagazione di vari tipi di onde. Nella sua forma più semplice, si scrive come [latex]\frac{parziale^2 u}{parziale t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex], dove [latex]u(\vec{x},t)[/latex] è l'ampiezza dell'onda, [latex]c[/latex] è la velocità dell'onda e [latex]\nabla^2[/latex] è l'operatore di Laplace. Modella fenomeni come le corde vibranti, le onde sonore e le onde luminose.

La caratteristica di Eulero è un invariante topologico, un numero che descrive la struttura o la forma di uno spazio topologico indipendentemente da come viene piegato. Per i poliedri, è definita dalla formula [latex]\chi = V - E + F[/latex], dove V, E e F sono rispettivamente il numero di vertici, spigoli e facce. Per una sfera, [latex]\chi = 2[/latex], mentre per un toro, [latex]\chi = 0[/latex].

Equazione differenziale parziale ellittica lineare del secondo ordine che descrive sistemi in condizioni di equilibrio o di stato stazionario. Si scrive come [latex]nabla^2 u = 0[/latex] o [latex]Delta u = 0[/latex], dove [latex]nabla^2[/latex] (o [latex]Delta[/latex]) è l'operatore di Laplace. Le soluzioni, chiamate funzioni armoniche, sono le funzioni più uniformi possibili e rappresentano i potenziali in campi come l'elettrostatica, la gravitazione e il flusso dei fluidi.

Equazione differenziale parziale parabolica lineare fondamentale del secondo ordine che descrive la distribuzione del calore o altri processi di diffusione. La sua forma canonica è [latex]\frac{parziale u}{parziale t} = \alpha \nabla^2 u[/latex], dove [latex]u(\vec{x},t)[/latex] è la temperatura, [latex]t[/latex] è il tempo e [latex]\alpha[/latex] è la diffusività termica. Le soluzioni modellano l'evoluzione della distribuzione iniziale della temperatura, attenuando le irregolarità nel tempo e avvicinandosi a uno stato stazionario.

Una soluzione fondamentale di un operatore differenziale parziale lineare [latex]L[/latex] è una soluzione dell'equazione [latex]Lu = delta(x)[/latex], dove [latex]delta(x)[/latex] è la funzione delta di Dirac. Essa rappresenta la risposta del sistema a una sorgente puntiforme o a un impulso. Una volta nota, la soluzione dell'equazione disomogenea [latex]Lu = f(x)[/latex] può essere trovata mediante convoluzione: [latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], dove [latex]G[/latex] è la soluzione fondamentale.

Le leggi di De Morgan sono una coppia di regole di trasformazione dell'algebra booleana, fondamentali per la progettazione di circuiti digitali. La prima legge afferma che la negazione di una congiunzione è la disgiunzione delle negazioni: [latex]\neg(P ´land Q) ´iff (´neg P) ´lor (´neg Q)[/latex]. La seconda afferma che la negazione di una disgiunzione è la congiunzione delle negazioni: [latex]\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)[/latex].

Un manifesto differenziabile è uno spazio topologico localmente simile allo spazio euclideo, che consente di applicare il calcolo. Ogni punto ha un vicinato che è omeomorfo a un sottoinsieme aperto di [latex]\mathbb{R}^n[/latex]. Questi sistemi di coordinate locali, detti grafici, sono correlati da funzioni di transizione lisce, che formano un atlante che definisce la struttura differenziabile del manifold.