Euclid’s Lemma

Il teorema di Bézout è un enunciato fondamentale della teoria delle intersezioni. Esso afferma che il numero di punti di intersezione di due curve algebriche piane di grado [latex]m[/latex] e [latex]n[/latex] è esattamente [latex]mn[/latex], a condizione che si lavori in un piano proiettivo su un campo algebricamente chiuso, si contino i punti con molteplicità e si includano i punti all'infinito in cui si incontrano gli asintoti paralleli.

This theorem states that every integer greater than 1 is either a prime number or can be uniquely represented as a product of prime numbers, disregarding the order of the factors. For example, [latex]1200 = 2^4 \times 3^1 \times 5^2[/latex]. This unique factorization is a cornerstone of number theory, providing a fundamental multiplicative structure for the integers.

Il Nullstellensatz di Hilbert (in tedesco "teorema degli zeri") stabilisce una corrispondenza fondamentale tra geometria e algebra. Esso afferma che, per un campo algebricamente chiuso [latex]k[/latex], se un polinomio [latex]p[/latex] svanisce sull'insieme zero di un ideale [latex]I[/latex], allora una potenza di [latex]p[/latex] deve appartenere a [latex]I[/latex]. Formalmente, [latex]I(V(I)) = \sqrt{I}[/latex], il radicale di [latex]I[/latex].

La coomologia degli sheaf è uno strumento centrale della moderna geometria algebrica per studiare le proprietà globali degli spazi geometrici. Per uno sheaf [latex]\mathcal{F}[/latex] su uno spazio [latex]X[/latex], i gruppi di coomologia [latex]H^i(X, \mathcal{F})[/latex] sono spazi vettoriali le cui dimensioni forniscono importanti invarianti. Il gruppo [latex]H^0[/latex] rappresenta le sezioni globali, mentre i gruppi superiori [latex]H^i[/latex] per [latex]i > 0[/latex] misurano le ostruzioni al raggruppamento delle sezioni locali in una globale.

Un'equazione differenziale parziale (PDE) è un'equazione che impone relazioni tra le varie derivate parziali di una funzione multivariabile. La funzione è spesso chiamata incognita e una PDE descrive una relazione tra questa funzione incognita e le sue derivate. A differenza delle equazioni differenziali ordinarie (ODE), che riguardano funzioni di una sola variabile, le PDE sono fondamentali per modellare sistemi multidimensionali.

Una tecnica per risolvere equazioni differenziali parziali (EDP) del primo ordine e del secondo ordine iperbolico. Il metodo riduce un'EDP a una famiglia di equazioni differenziali ordinarie (EOD) lungo curve specifiche chiamate "caratteristiche". Lungo queste curve, l'EDP si semplifica, consentendo di trovare la soluzione integrando il sistema di EOD. È particolarmente efficace per problemi che coinvolgono il trasporto e la propagazione delle onde.

Un teorema fondamentale di esistenza e unicità per equazioni differenziali parziali associate a problemi di Cauchy ai valori iniziali. Afferma che se l'equazione differenziale alle derivate parziali e le condizioni iniziali sono "analitiche" (rappresentabili da serie di potenze convergenti), allora esiste un'unica soluzione analitica in un intorno della superficie iniziale. Fornisce una garanzia di esistenza locale, ma non affronta il comportamento globale o la buona posizione.

Una varietà affine è l'insieme dei punti di uno spazio affine le cui coordinate sono gli zeri comuni di un insieme finito di polinomi. Per un insieme di polinomi [latex]S = \{f_1, \dots, f_k\}[/latex] in un anello polinomiale [latex]k[x_1, \dots, x_n][/latex], la varietà affine corrispondente è [latex]V(S) = \{x \in k^n | f(x) = 0 \text{ per tutti } f \in S\}[/latex]. È un oggetto di studio centrale della geometria algebrica classica.