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AC Circuit Generalization of Ohm’s Law

1890
  • Oliver Heaviside
  • Charles Proteus Steinmetz

For alternating current (AC) circuits, Ohm’s law is generalized using complex numbers to [latex]\mathbf{V} = \mathbf{I} \mathbf{Z}[/latex]. Here, [latex]\mathbf{V}[/latex] and [latex]\mathbf{I}[/latex] are complex phasors representing the sinusoidally varying voltage and current, capturing both magnitude and phase. [latex]\mathbf{Z}[/latex] is the complex impedance, which extends the concept of resistance to include the effects of capacitors and inductors.

In AC circuits, capacitors and inductors introduce a phase shift between the voltage and current. Simple resistance is insufficient to describe this behavior. Impedance, [latex]\mathbf{Z}[/latex], is a complex quantity defined as [latex]\mathbf{Z} = R + jX[/latex], where [latex]R[/latex] is the resistance (the real part) and [latex]X[/latex] is the reactance (the imaginary part). Reactance is the opposition to current flow from capacitors ([latex]X_C[/latex]) and inductors ([latex]X_L[/latex]), and it is frequency-dependent.

This phasor form of Ohm’s law allows engineers to use algebraic methods, similar to those for DC circuits, to solve for magnitudes and phase angles in complex AC systems. The magnitude of the impedance, [latex]|\mathbf{Z}| = \sqrt{R^2 + X^2}[/latex], determines the ratio of voltage amplitude to current amplitude. The phase angle of the impedance, [latex]\phi = \arctan(X/R)[/latex], represents the phase difference between the voltage and current. This generalization is indispensable for modern electrical engineering, underpinning the design of everything from power supplies to wireless comunicazione devices.

UNESCO Nomenclature: 3308
– Electrical engineering

Tipo

Sistema astratto

Interruzione

Sostanziale

Utilizzo

Uso diffuso

Precursori

  • Ohm’s law for dc circuits
  • Michael Faraday’s law of induction, describing how changing magnetic fields create voltage
  • Joseph Henry’s work on self-inductance
  • James Clerk Maxwell’s unified theory of electromagnetism
  • La matematica struttura of complex numbers and phasor analysis

Applicazioni

  • progettazione di filtri audio (passa-alto, passa-basso, passa-banda)
  • analisi delle reti di trasmissione e distribuzione dell'energia elettrica
  • progettazione di circuiti a radiofrequenza (rf) per sistemi di comunicazione
  • adattamento di impedenza nelle antenne per massimizzare il trasferimento di potenza
  • modellazione e analisi di circuiti rlc in elettronica

Brevetti:

NA

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