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पैडिक संख्याएँ

1897
  • Kurt Hensel
19th century study room of Kurt Hensel focused on p-adic numbers and number theory.

(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)

किसी अभाज्य संख्या p के लिए, p-adic संख्याएँ परिमेय संख्याओं का एक विस्तार बनाती हैं जो वास्तविक संख्याओं से टोपोलॉजिकली भिन्न होती हैं। जहाँ वास्तविक संख्याएँ सामान्य निरपेक्ष मान मीट्रिक के संबंध में Q का पूर्णीकरण हैं, वहीं p-adic संख्याएँ p-adic मीट्रिक के संबंध में Q का पूर्णीकरण हैं, जहाँ संख्याएँ 'छोटी' कहलाती हैं यदि वे p की उच्च घात से विभाज्य हों।

The concept of p-adic numbers, introduced by Kurt Hensel, provides a powerful and alternative way to extend the field of rational numbers. The construction is based on a different notion of distance, or absolute value. For a fixed prime [latex]p[/latex], the p-adic absolute value [latex]|x|_p[/latex] of a non-zero rational number [latex]x[/latex] is defined as follows: first, write [latex]x = p^n (a/b)[/latex] where [latex]a, b[/latex] are not divisible by [latex]p[/latex]. Then [latex]|x|_p = p^{-n}[/latex]. For example, for [latex]p=5[/latex], the number 75 is [latex]5^2 \cdot 3[/latex], so [latex]|75|_5 = 5^{-2} = 1/25[/latex]. A number is considered “small” in the p-adic sense if it is divisible by a high power of [latex]p[/latex].

यह p-adic निरपेक्ष मान एक मीट्रिक [latex]d_p(x, y) = |xy|_p[/latex] को परिभाषित करता है, जो अल्ट्रामीट्रिक असमानता: [latex]|x+y|_p leq max(|x|_p, |y|_p)[/latex] को संतुष्ट करता है। यह सामान्य त्रिभुज असमानता से अधिक मजबूत है और एक विचित्र टोपोलॉजी की ओर ले जाता है जहाँ सभी त्रिभुज समद्विबाहु होते हैं और एक खुले गोले में कोई भी बिंदु उसका केंद्र होता है। p-adic संख्याओं का क्षेत्र, जिसे [latex]mathbb{Q}_p[/latex] द्वारा दर्शाया जाता है, इस मीट्रिक के संबंध में परिमेय संख्याओं [latex]mathbb{Q}[/latex] का पूर्णीकरण है, ठीक उसी प्रकार जैसे वास्तविक संख्याएँ [latex]mathbb{R}[/latex] मानक निरपेक्ष मान के संबंध में [latex]mathbb{Q}[/latex] का पूर्णीकरण हैं।

p-adic संख्याओं के साथ काम करने का एक महत्वपूर्ण उपकरण हेंसेल का प्रमेय है, जो p मॉड्यूलो बहुपद सर्वांगसमताओं के हलों को p की उच्च घातों के मॉड्यूलो हलों में और अंततः p-adic पूर्णांकों में हलों में बदलने की विधि प्रदान करता है। हासे सिद्धांत, या स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत, यह बताता है कि एक डायोफैंटाइन समीकरण का परिमेय हल तभी होता है जब प्रत्येक अभाज्य p के लिए वास्तविक संख्याओं और p-adic संख्याओं में उसका हल हो। यद्यपि यह सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं है, यह द्विघात रूपों जैसे महत्वपूर्ण मामलों में लागू होता है और संख्या सिद्धांत में एक मार्गदर्शक सिद्धांत है।

UNESCO Nomenclature: 1101
बीजगणित, संख्या सिद्धांत और समूह सिद्धांत

Type

सार प्रणाली

व्यवधान

संतोषजनक

उपयोग

विशिष्ट/विशेषज्ञ

शगुन

  • क्षेत्र पूर्णता की अवधारणा
  • वेइरस्ट्रास द्वारा पावर सीरीज़ पर काम
  • सर्वांगसमताओं का सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित
  • मीट्रिक स्थानों का विकास

आवेदन

  • संख्या सिद्धांत, विशेष रूप से डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने में (हैस सिद्धांत)
  • बीजीय ज्यामिति
  • क्वांटम यांत्रिकी और स्ट्रिंग सिद्धांत (पी-एडिक क्वांटम यांत्रिकी)
  • क्रिप्टोग्राफी

पेटेंट:

NA

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संबंधित विषय: पी-एडिक संख्या, संख्या सिद्धांत, कर्ट हेंसेल, पूर्णता, मीट्रिक स्थान, निरपेक्ष मान, हासे सिद्धांत, हेंसेल का प्रमेय, अल्ट्रामेट्रिक, डायोफैंटाइन समीकरण।

ऐतिहासिक संदर्भ

Study room with books and chalkboard illustrating the Fundamental Theorem of Arithmetic in number theory.

अंकगणित का मूलभूत प्रमेय

यह प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ी प्रत्येक पूर्णांक संख्या या तो अभाज्य संख्या होती है या उसे गुणनखंडों के क्रम की परवाह किए बिना, विशिष्ट रूप से अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में निरूपित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, [latex]1200 = 2^4 times 3^1 times 5^2[/latex]। यह विशिष्ट गुणनखंडन संख्या सिद्धांत का एक आधारशिला है, जो पूर्णांकों के लिए एक मूलभूत गुणात्मक संरचना प्रदान करता है।
Desk of a 19th-century mathematician with prime factorization book and tools.

एक पूर्णांक का प्रामाणिक निरूपण

किसी धनात्मक पूर्णांक n का मानक निरूपण, या मानक रूप, उसका अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडन होता है, जिसे अभाज्य घातों के गुणनफल के रूप में लिखा जाता है, जिसमें अभाज्य संख्याएँ बढ़ते क्रम में होती हैं। किसी भी पूर्णांक n > 1 के लिए, इसे n = p₁₁₁₂₂₂₀ ...
Study room of mathematicians Cauchy and Kovalevski with analysis books and equations.

कोशी-कोवालेव्स्की प्रमेय

कोशी प्रारंभिक मान समस्याओं से संबंधित आंशिक अवकल समीकरणों के लिए एक मूलभूत अस्तित्व और अद्वितीयता प्रमेय। यह कहता है कि यदि PDE और प्रारंभिक स्थितियाँ 'विश्लेषणात्मक' हैं (अभिसारी घात श्रृंखला द्वारा निरूपित की जा सकती हैं), तो प्रारंभिक सतह के पड़ोस में एक अद्वितीय विश्लेषणात्मक समाधान मौजूद होता है। यह एक स्थानीय अस्तित्व की गारंटी प्रदान करता है लेकिन वैश्विक व्यवहार या सुस्पष्टता को संबोधित नहीं करता है।

पी-एडिक संख्याएँ

Mathematician's workspace focused on sheaf cohomology with textbooks and notes.

शीफ कोहोमोलॉगी

शीफ कोहोमोलॉगी आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति में ज्यामितीय स्थानों के वैश्विक गुणों के अध्ययन के लिए एक केंद्रीय उपकरण है। किसी स्थान X पर स्थित शीफ F के लिए, कोहोमोलॉगी समूह H^i(X, F) सदिश स्थान होते हैं जिनकी विमाएँ महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीयताएँ प्रदान करती हैं। समूह H^0 वैश्विक अनुभागों का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि i > 0 के लिए उच्च समूह H^i स्थानीय अनुभागों को एक वैश्विक अनुभाग में संयोजित करने में आने वाली बाधाओं को मापते हैं।
1801
1850
1875
1897
1950
1800
1844
1874
1893
1900
Mathematician working on factorization of real polynomials in a historical classroom.

वास्तविक बहुपदों का गुणनखंडन

बीजगणित के मूलभूत प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम यह है कि वास्तविक गुणांकों वाले किसी भी गैर-स्थिर बहुपद को रैखिक गुणनखंडों और अविभाज्य द्विघात गुणनखंडों के गुणनफल में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें सभी के गुणांक वास्तविक होते हैं। रैखिक गुणनखंड वास्तविक मूलों के अनुरूप होते हैं, जबकि अविभाज्य द्विघात गुणनखंड जटिल संयुग्मी मूलों के युग्मों [latex]a pm bi[/latex] के अनुरूप होते हैं।
Mathematician studying transcendental numbers in a historical study.

पारलौकिक संख्याएँ

एक पारलौकिक संख्या एक वास्तविक या जटिल संख्या होती है जो बीजीय नहीं होती, जिसका अर्थ है कि यह पूर्णांक (या परिमेय) गुणांक वाले किसी भी गैर-शून्य बहुपद समीकरण का मूल नहीं होती। सभी पारलौकिक संख्याएँ अपरिमेय होती हैं, लेकिन सभी अपरिमेय संख्याएँ पारलौकिक नहीं होतीं (उदाहरण के लिए, [latex]√2[/latex] अपरिमेय है लेकिन बीजीय है, क्योंकि यह [latex]x^2 - 2 = 0[/latex] का मूल है)।
19th-century mathematician studying countability of rational numbers in an office.

परिमेय संख्याओं की गणनीयता

सघन होने के बावजूद, जिसका अर्थ है कि किन्हीं भी दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच एक और संख्या विद्यमान होती है, सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय [latex]mathbb{Q}[/latex] गणनीय रूप से अनंत है। इसका अर्थ यह है कि सभी परिमेय संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं [latex]mathbb{N} = {1, 2, 3, ...}[/latex] के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। यह आश्चर्यजनक परिणाम दर्शाता है कि [latex]mathbb{Q}[/latex] की कार्डिनैलिटी [latex]mathbb{N}[/latex] और [latex]mathbb{Z}[/latex] के समान है।
19th-century mathematician deriving Hilbert's Nullstellensatz in an academic setting.

हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसत्ज़ ("शून्य का प्रमेय")

हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसैट्ज़ (जर्मन में "शून्य का प्रमेय") ज्यामिति और बीजगणित के बीच एक मूलभूत संबंध स्थापित करता है। यह बताता है कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k के लिए, यदि एक बहुपद p किसी आदर्श I के शून्य-सेट पर शून्य हो जाता है, तो p की कोई घात I से संबंधित होनी चाहिए। औपचारिक रूप से, I(V(I)) = √I, जो I का मूल है।
Mathematician analyzing polynomials related to affine varieties in an office.

एफाइन वैरायटी

एक एफाइन वैरायटी, एफाइन स्पेस में स्थित उन बिंदुओं का समूह है जिनके निर्देशांक, परिमित बहुपदों के समूह के उभयनिष्ठ शून्य होते हैं। बहुपदों के समूह [latex]S = {f_1, dots, f_k}[/latex] के लिए, जो एक बहुपद वलय [latex]k[x_1, dots, x_n][/latex] में स्थित है, संगत एफाइन वैरायटी [latex]V(S) = {x in k^n | f(x) = 0 text{ for all } f in S}[/latex] है। यह शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन का एक प्रमुख विषय है।

(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)

संबंधित आविष्कार, नवाचार और तकनीकी सिद्धांत

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