Números p-ádicos

Este teorema afirma que todo número inteiro maior que 1 é ou um número primo ou pode ser representado de forma única como um produto de números primos, independentemente da ordem dos fatores. Por exemplo, [latex]1200 = 2^4 times 3^1 times 5^2[/latex]. Essa fatoração única é um pilar da teoria dos números, fornecendo uma estrutura multiplicativa fundamental para os números inteiros.

A representação canônica, ou forma padrão, de um inteiro positivo [latex]n[/latex] é sua fatoração em primos única, escrita como um produto de potências de primos com os primos em ordem crescente. Para qualquer inteiro [latex]n > 1[/latex], ele pode ser escrito como [latex]n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} cdots p_k^{a_k}[/latex], onde [latex]p_1 < p_2 < cdots < p_k[/latex] são números primos e os expoentes [latex]a_i[/latex] são inteiros positivos.

Um teorema fundamental de existência e unicidade para equações diferenciais parciais associadas a problemas de valor inicial de Cauchy. Ele afirma que, se a EDP e as condições iniciais são 'analíticas' (podem ser representadas por séries de potências convergentes), então existe uma solução analítica única em uma vizinhança da superfície inicial. O teorema fornece uma garantia de existência local, mas não aborda o comportamento global ou a boa definição do problema.

A cohomologia de feixes é uma ferramenta central na geometria algébrica moderna para o estudo de propriedades globais de espaços geométricos. Para um feixe [latex]mathcal{F}[/latex] em um espaço [latex]X[/latex], os grupos de cohomologia [latex]H^i(X, mathcal{F})[/latex] são espaços vetoriais cujas dimensões fornecem invariantes importantes. O grupo [latex]H^0[/latex] representa seções globais, enquanto grupos superiores [latex]H^i[/latex] para [latex]i > 0[/latex] medem as obstruções à junção de seções locais em uma seção global.

Um corolário direto do teorema fundamental da álgebra é que qualquer polinômio não constante com coeficientes reais pode ser fatorado em um produto de fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, todos com coeficientes reais. Os fatores lineares correspondem às raízes reais, enquanto os fatores quadráticos irredutíveis correspondem a pares de raízes complexas conjugadas [latex]a pm bi[/latex].

Um número transcendental é um número real ou complexo que não é algébrico, ou seja, não é raiz de nenhuma equação polinomial não nula com coeficientes inteiros (ou racionais). Todos os números transcendentais são irracionais, mas nem todos os números irracionais são transcendentais (por exemplo, √2 é irracional, mas algébrico, pois é raiz de x² - 2 = 0).

Apesar de ser denso, ou seja, entre quaisquer dois números racionais distintos existe outro, o conjunto de todos os números racionais [latex]mathbb{Q}[/latex] é enumerável e infinito. Isso significa que todos os números racionais podem ser colocados em uma correspondência biunívoca com os números naturais [latex]mathbb{N} = {1, 2, 3, ...}[/latex]. Esse resultado surpreendente demonstra que [latex]mathbb{Q}[/latex] tem a mesma cardinalidade que [latex]mathbb{N}[/latex] e [latex]mathbb{Z}[/latex].

O Teorema dos Zeros de Hilbert (Nullstellensatz, em alemão) estabelece uma correspondência fundamental entre geometria e álgebra. Ele afirma que, para um corpo algebricamente fechado [latex]k[/latex], se um polinômio [latex]p[/latex] se anula no conjunto de zeros de um ideal [latex]I[/latex], então alguma potência de [latex]p[/latex] deve pertencer a [latex]I[/latex]. Formalmente, [latex]I(V(I)) = sqrt{I}[/latex], o radical de [latex]I[/latex].

Uma variedade afim é o conjunto de pontos em um espaço afim cujas coordenadas são os zeros comuns de um conjunto finito de polinômios. Para um conjunto de polinômios [latex]S = {f_1, dots, f_k}[/latex] em um anel de polinômios [latex]k[x_1, dots, x_n][/latex], a variedade afim correspondente é [latex]V(S) = {x in k^n | f(x) = 0 text{ para todo } f in S}[/latex]. É um objeto central de estudo na geometria algébrica clássica.