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अंकगणित का मूलभूत प्रमेय

1801

Carl Friedrich Gauss

(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)

यह प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ा प्रत्येक पूर्णांक या तो एक अभाज्य संख्या है या उसे गुणनखंडों के क्रम की परवाह किए बिना, अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में विशिष्ट रूप से निरूपित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, [latex]1200 = 2^4 times 3^1 times 5^2[/latex]। यह विशिष्ट रूप से निरूपित किया जा सकता है। गुणन यह संख्या सिद्धांत का एक आधारशिला है, जो पूर्णांकों के लिए एक मौलिक गुणात्मक संरचना प्रदान करता है।

अंकगणित का मूलभूत प्रमेय, जिसे अद्वितीय गुणनखंडन प्रमेय भी कहा जाता है, किसी भी पूर्णांक n > 1 के लिए दो मुख्य कथनों से मिलकर बना है: पहला, कि n को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है (अस्तित्व भाग), और दूसरा, कि गुणनफल गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है (विशिष्टता भाग)। अभाज्य गुणनखंडन के अस्तित्व को आमतौर पर प्रबल प्रेरण विधि द्वारा सिद्ध किया जाता है। आधार स्थिति यह है कि 2 एक अभाज्य संख्या है। प्रेरणिक चरण के लिए, मान लीजिए कि k तक के प्रत्येक पूर्णांक का अभाज्य गुणनखंडन होता है। k+1 के लिए, यह या तो अभाज्य होता है (और हमारा कार्य पूरा हो जाता है) या भाज्य। यदि यह भाज्य है, तो इसे दो छोटे पूर्णांकों के गुणनफल, a × b के रूप में लिखा जा सकता है। प्रेरण परिकल्पना के अनुसार, [latex]a[/latex] और [latex]b[/latex] दोनों के अभाज्य गुणनखंड होते हैं, और उनका गुणनफल [latex]k+1[/latex] के लिए एक अभाज्य गुणनखंड देता है।

अद्वितीयता का भाग अधिक सूक्ष्म है और यूक्लिड के प्रमेय पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करता है, जो कहता है कि यदि एक अभाज्य संख्या p किसी गुणनफल ab को विभाजित करती है, तो p को या तो a या b को विभाजित करना ही चाहिए। अद्वितीयता सिद्ध करने के लिए, मान लीजिए कि एक पूर्णांक n के दो भिन्न अभाज्य गुणनखंड हैं: n = p₁, p₂ + q₁, q₂ + q₂ + q₂। अभाज्य संख्या p₁ बाएँ पक्ष को विभाजित करती है, इसलिए इसे दाएँ पक्ष को भी विभाजित करना चाहिए। यूक्लिड के प्रमेय के अनुसार, p₁ को q₁j में से किसी एक को विभाजित करना ही चाहिए। चूंकि सभी q_j अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए p_1 किसी q_j के बराबर होना चाहिए। हम इन पदों को दोनों पक्षों से हटाकर प्रक्रिया को दोहरा सकते हैं, जिससे अंततः यह सिद्ध हो जाता है कि दोनों गुणनखंड समान होने चाहिए। इस प्रमेय के कुछ अंश यूक्लिड की रचना *एलिमेंट्स* (लगभग 300 ईसा पूर्व) में मिलते हैं, लेकिन कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने 1801 में अपनी रचना *डिस्क्विशन्स एरिथमेटिका* में इसका पहला स्पष्ट कथन और सटीक प्रमाण प्रस्तुत किया, जिससे संख्या सिद्धांत में इसकी मूलभूत भूमिका स्थापित हुई।

एल्गोरिदम, क्रिप्टोग्राफी, गणित, प्रक्रिया अनुकूलन, गुणवत्ता प्रबंधन, सांख्यिकीय विश्लेषण, सांख्यिकीय प्रक्रिया नियंत्रण (SPC), विशिष्ट विक्रय बिंदु (यूएसपी)

UNESCO Nomenclature: 1101

शुद्ध गणित

Type

सार प्रणाली

व्यवधान

मूलभूत

उपयोग

व्यापक उपयोग

शगुन

यूक्लिड का अभाज्य संख्याओं की अनंतता का प्रमाण
यूक्लिड का लेम्मा
अभाज्य संख्याओं और विभाज्यता की अवधारणा प्राचीन यूनानी गणित से ली गई है।
प्रमाण तकनीक के रूप में गणितीय प्रेरण का विकास

आवेदन

क्रिप्टोग्राफी (उदाहरण के लिए, RSA एल्गोरिदम)
सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) ज्ञात करने के लिए एल्गोरिदम
डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करना
अमूर्त बीजगणित का विकास
पूर्णांक गुणनखंडन के लिए कंप्यूटर विज्ञान एल्गोरिदम

पेटेंट:

संभावित नवाचार विचार

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Related to: fundamental theorem of arithmetic, prime factorization, unique factorization, number theory, integer, prime number, Euclid, Gauss, canonical representation, multiplicative structure.

ऐतिहासिक संदर्भ

Mathematician's desk with notes on decimal expansion of rational numbers, 16th century.

परिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार (आवर्ती)

एक वास्तविक संख्या परिमेय होती है यदि और केवल यदि उसका दशमलव आवर्ती हो। इसका अर्थ है कि अंकों का क्रम अंततः एक सीमित अंकों के क्रम को अनिश्चित काल तक दोहराता रहता है। इस दोहराए जाने वाले भाग को पुनरावर्ती अंक कहते हैं। उदाहरण के लिए, [latex]1/3 = 0.333...[/latex] (पुनरावर्ती अंक '3' है) और [latex]3/7 = 0.428571428571...[/latex] (पुनरावर्ती अंक '428571' है)। शांत दशमलव एक विशेष स्थिति है जहाँ पुनरावर्ती अंक '0' होता है।

Study room of Étienne Bézout showcasing Bézout's Theorem and algebraic curves.

बेजौट का प्रमेय

बेज़आउट का प्रमेय प्रतिच्छेदन सिद्धांत का एक मूलभूत कथन है। यह प्रतिपादित करता है कि [latex]m[/latex] और [latex]n[/latex] डिग्री के दो समतल बीजगणितीय वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या ठीक [latex]mn[/latex] होती है, बशर्ते कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रक्षेप्य समतल में कार्य किया जाए, बहुलता के साथ बिंदुओं की गणना की जाए, और अनंत पर उन बिंदुओं को शामिल किया जाए जहां समानांतर अनंतस्पर्शी मिलते हैं।

Historical study room with mathematicians discussing the Fundamental Theorem of Algebra.

बीजगणित का मूलभूत प्रमेय

बीजगणित का मूलभूत प्रमेय यह बताता है कि जटिल गुणांकों वाले प्रत्येक गैर-स्थिर एकल-चर बहुपद का कम से कम एक जटिल मूल होता है। यह इस बात की गारंटी देता है कि जटिल संख्याओं का क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद है, जिसका अर्थ है कि वास्तविक संख्याओं में हल न किए जा सकने वाले बहुपद समीकरणों को जटिल संख्याओं में हल किया जा सकता है। एक बहुपद [latex]p(z) = a_n z^n + dots + a_1 z + a_0[/latex] के लिए, mathbb{C}[/latex] में एक [latex]z_0[/latex] मौजूद है जैसे कि [latex]p(z_0) = 0[/latex]।

अंकगणित का मूलभूत प्रमेय

Desk of a 19th-century mathematician with prime factorization book and tools.

एक पूर्णांक का प्रामाणिक निरूपण

किसी धनात्मक पूर्णांक n का मानक निरूपण, या मानक रूप, उसका अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडन होता है, जिसे अभाज्य घातों के गुणनफल के रूप में लिखा जाता है, जिसमें अभाज्य संख्याएँ बढ़ते क्रम में होती हैं। किसी भी पूर्णांक n > 1 के लिए, इसे n = p₁₁₁₂₂₂₀ ...

Study room of mathematicians Cauchy and Kovalevski with analysis books and equations.

कोशी-कोवालेव्स्की प्रमेय

कोशी प्रारंभिक मान समस्याओं से संबंधित आंशिक अवकल समीकरणों के लिए एक मूलभूत अस्तित्व और अद्वितीयता प्रमेय। यह कहता है कि यदि PDE और प्रारंभिक स्थितियाँ 'विश्लेषणात्मक' हैं (अभिसारी घात श्रृंखला द्वारा निरूपित की जा सकती हैं), तो प्रारंभिक सतह के पड़ोस में एक अद्वितीय विश्लेषणात्मक समाधान मौजूद होता है। यह एक स्थानीय अस्तित्व की गारंटी प्रदान करता है लेकिन वैश्विक व्यवहार या सुस्पष्टता को संबोधित नहीं करता है।

19th century study room of Kurt Hensel focused on p-adic numbers and number theory.

पी-एडिक संख्याएँ

किसी अभाज्य संख्या p के लिए, p-एडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं का एक विस्तार बनाती हैं जो वास्तविक संख्याओं से टोपोलॉजिकली भिन्न होती हैं। जहाँ वास्तविक संख्याएँ सामान्य निरपेक्ष मान मीट्रिक के संबंध में Q का पूर्णीकरण हैं, वहीं p-एडिक संख्याएँ p-एडिक मीट्रिक के संबंध में Q का पूर्णीकरण हैं, जहाँ संख्याएँ "छोटी" कहलाती हैं यदि वे p की उच्च घात से विभाज्य हों।

1585

1779

1799

1801

1850

1875

1897

-550

1750

1790

1800

1844

1874

1893

1900

Ancient scholar demonstrating rational numbers on a stone tablet in a historical classroom.

भिन्नात्मक संख्याएं

परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे भिन्न या भागफल [latex]p/q[/latex] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ [latex]p[/latex] एक पूर्णांक है और [latex]q[/latex] एक गैर-शून्य पूर्णांक है। सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय को [latex]mathbb{Q}[/latex] से दर्शाया जाता है। यह मूलभूत अवधारणा पूर्णांकों को भिन्नों तक विस्तारित करती है, जिससे किसी पूर्ण संख्या के भागों को निरूपित करना संभव हो जाता है।

Historical discussion on partial differential equations by mathematicians in an office.

आंशिक अवकल समीकरण (पीडीई)

आंशिक अवकल समीकरण (पीडीई) एक ऐसा समीकरण है जो बहुचर फलन के विभिन्न आंशिक अवकलों के बीच संबंध स्थापित करता है। इस फलन को अक्सर अज्ञात कहा जाता है, और पीडीई इस अज्ञात फलन और इसके अवकलों के बीच संबंध का वर्णन करता है। साधारण अवकल समीकरणों (ओडीई) के विपरीत, जिनमें एक चर के फलन शामिल होते हैं, पीडीई बहुआयामी प्रणालियों के प्रतिरूपण के लिए मूलभूत हैं।

Historical analysis of Method of Characteristics by Lagrange and Monge in a scholarly setting.

विशेषता विधि (गणित)

प्रथम-कोटि और अतिपरवलयिक द्वितीय-कोटि आंशिक अवकल समीकरणों (पीडीई) को हल करने की एक तकनीक। यह विधि एक पीडीई को विशिष्ट वक्रों (जिन्हें 'विशेषताएँ' कहा जाता है) के अनुदिश साधारण अवकल समीकरणों (ओडीई) के एक समूह में परिवर्तित करती है। इन वक्रों के अनुदिश, पीडीई सरल हो जाता है, जिससे ओडीई के समूह को समाकलित करके हल प्राप्त किया जा सकता है। यह विधि परिवहन और तरंग प्रसार से संबंधित समस्याओं के लिए विशेष रूप से उपयोगी है।

Mathematician working on factorization of real polynomials in a historical classroom.

वास्तविक बहुपदों का गुणनखंडन

बीजगणित के मूलभूत प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम यह है कि वास्तविक गुणांकों वाले किसी भी गैर-स्थिर बहुपद को रैखिक गुणनखंडों और अविभाज्य द्विघात गुणनखंडों के गुणनफल में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें सभी के गुणांक वास्तविक होते हैं। रैखिक गुणनखंड वास्तविक मूलों के अनुरूप होते हैं, जबकि अविभाज्य द्विघात गुणनखंड जटिल संयुग्मी मूलों के युग्मों [latex]a pm bi[/latex] के अनुरूप होते हैं।

Mathematician studying transcendental numbers in a historical study.

पारलौकिक संख्याएँ

एक पारलौकिक संख्या एक वास्तविक या जटिल संख्या होती है जो बीजीय नहीं होती, जिसका अर्थ है कि यह पूर्णांक (या परिमेय) गुणांक वाले किसी भी गैर-शून्य बहुपद समीकरण का मूल नहीं होती। सभी पारलौकिक संख्याएँ अपरिमेय होती हैं, लेकिन सभी अपरिमेय संख्याएँ पारलौकिक नहीं होतीं (उदाहरण के लिए, [latex]√2[/latex] अपरिमेय है लेकिन बीजीय है, क्योंकि यह [latex]x^2 - 2 = 0[/latex] का मूल है)।

19th-century mathematician studying countability of rational numbers in an office.

परिमेय संख्याओं की गणनीयता

सघन होने के बावजूद, जिसका अर्थ है कि किन्हीं भी दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच एक और संख्या विद्यमान होती है, सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय [latex]mathbb{Q}[/latex] गणनीय रूप से अनंत है। इसका अर्थ यह है कि सभी परिमेय संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं [latex]mathbb{N} = {1, 2, 3, ...}[/latex] के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। यह आश्चर्यजनक परिणाम दर्शाता है कि [latex]mathbb{Q}[/latex] की कार्डिनैलिटी [latex]mathbb{N}[/latex] और [latex]mathbb{Z}[/latex] के समान है।

19th-century mathematician deriving Hilbert's Nullstellensatz in an academic setting.

हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसत्ज़ ("शून्य का प्रमेय")

हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसैट्ज़ (जर्मन में "शून्य का प्रमेय") ज्यामिति और बीजगणित के बीच एक मूलभूत संबंध स्थापित करता है। यह बताता है कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k के लिए, यदि एक बहुपद p किसी आदर्श I के शून्य-सेट पर शून्य हो जाता है, तो p की कोई घात I से संबंधित होनी चाहिए। औपचारिक रूप से, I(V(I)) = √I, जो I का मूल है।

Mathematician analyzing polynomials related to affine varieties in an office.

एफाइन वैरायटी

एक एफाइन वैरायटी, एफाइन स्पेस में स्थित उन बिंदुओं का समूह है जिनके निर्देशांक, परिमित बहुपदों के समूह के उभयनिष्ठ शून्य होते हैं। बहुपदों के समूह [latex]S = {f_1, dots, f_k}[/latex] के लिए, जो एक बहुपद वलय [latex]k[x_1, dots, x_n][/latex] में स्थित है, संगत एफाइन वैरायटी [latex]V(S) = {x in k^n | f(x) = 0 text{ for all } f in S}[/latex] है। यह शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन का एक प्रमुख विषय है।

(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)