(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)
मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो (MCMC) विधियाँ प्रायिकता वितरण से नमूना लेने के लिए एल्गोरिदम का एक वर्ग हैं। एक मार्कोव श्रृंखला का निर्माण किया जाता है जिसमें वांछित वितरण उसका संतुलन या स्थिर वितरण होता है। फिर कई चरणों के बाद श्रृंखला की स्थिति को वांछित वितरण से नमूने के रूप में उपयोग किया जाता है, जिससे समाकलन और प्रत्याशा की गणना संभव हो पाती है।
जब किसी जटिल, उच्च-आयामी प्रायिकता वितरण [latex]P(x)[/latex] से प्रत्यक्ष नमूना लेना संभव न हो, तो MCMC विधियाँ आवश्यक हो जाती हैं। स्वतंत्र नमूने उत्पन्न करने के बजाय, MCMC सहसंबंधित नमूनों का एक क्रम उत्पन्न करता है जो एक मार्कोव श्रृंखला बनाते हैं। मार्कोव श्रृंखला एक यादृच्छिक प्रक्रिया है जहाँ अगली अवस्था में संक्रमण की प्रायिकता केवल वर्तमान अवस्था पर निर्भर करती है, न कि उससे पहले घटित घटनाओं के क्रम पर। मुख्य बात यह है कि श्रृंखला की संक्रमण प्रायिकताओं को इस प्रकार डिज़ाइन किया जाए कि उसका स्थिर वितरण लक्ष्य वितरण [latex]P(x)[/latex] हो।
The process starts at an arbitrary state [latex]x_0[/latex]. At each step [latex]t[/latex], a new state [latex]x_{t+1}[/latex] is generated based on the current state [latex]x_t[/latex] using a specific algorithm (like Metropolis-Hastings). After an initial “burn-in” period, during which the chain converges from its starting point to the high-probability regions of the target distribution, the subsequent states [latex]x_t, x_{t+1}, …[/latex] can be considered as (correlated) samples from [latex]P(x)[/latex]. These samples can then be used to estimate expectations of functions [latex]f(x)[/latex] with respect to [latex]P(x)[/latex] by averaging [latex]f(x_t)[/latex] over the samples. This is particularly useful in Bayesian inference, where [latex]P(x)[/latex] is a posterior distribution of model parameters, and direct calculation is often impossible due to a complex denominator (the evidence or marginal likelihood).
इसके अतिरिक्त: MCMC differs from the basic Monte Carlo method in how it generates samples to estimate a desired distribution or integral. While Monte Carlo methods rely on drawing independent and identically distributed random samples directly from a target distribution or a proposal distribution, MCMC generates samples through a correlated sequence (a Markov chain) where each sample depends on the previous one. This dependency allows MCMC to efficiently explore complex, high-dimensional distributions that are difficult to sample from directly, by constructing a chain that converges to the target distribution over time. In contrast, traditional Monte Carlo methods may struggle with such problems due to inefficiencies in sampling or requiring explicit knowledge of the distribution’s form. Thus, MCMC extends Monte Carlo by harnessing dependence between samples to facilitate sampling in challenging statistical and computational settings.
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मार्कोव चेन मोंटे कार्लो (एमसीएमसी)
(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)
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