Le problème de l'aiguille de Buffon

L'induction mathématique est une technique utilisée pour prouver qu'une propriété [latex]P(n)[/latex] est valable pour chaque nombre naturel [latex]n[/latex]. Elle comprend deux étapes : le cas de base, qui consiste à prouver que [latex]P(0)[/latex] ou [latex]P(1)[/latex] est vrai, et l'étape inductive, qui consiste à prouver que si [latex]P(k)[/latex] est vrai pour un certain nombre naturel [latex]k[/latex] (l'hypothèse d'induction), alors [latex]P(k+1)[/latex] est également vrai.

Équation différentielle partielle hyperbolique linéaire du second ordre qui régit la propagation de divers types d'ondes. Dans sa forme la plus simple, elle s'écrit [latex]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex], où [latex]u(\vec{x},t)[/latex] est l'amplitude de l'onde, [latex]c[/latex] est la vitesse de l'onde, et [latex]\nabla^2[/latex] est l'opérateur de Laplace. Il modélise des phénomènes tels que les cordes vibrantes, les ondes sonores et les ondes lumineuses.

La caractéristique d'Euler est un invariant topologique, un nombre qui décrit la structure ou la forme d'un espace topologique indépendamment de la façon dont il est plié. Pour les polyèdres, elle est définie par la formule [latex]\chi = V - E + F[/latex], où V, E et F sont respectivement le nombre de sommets, d'arêtes et de faces. Pour une sphère, [latex]\chi = 2[/latex], tandis que pour un tore, [latex]\chi = 0[/latex].

Le théorème de Parseval relie l'énergie totale d'un signal (l'intégrale de son carré sur une période) à la somme des énergies au carré de ses composantes de la série de Fourier. Pour une fonction [latex]s(x)[/latex] de période [latex]P[/latex], le théorème énonce : [latex]\frac{1}{P} \int_P |s(x)|^2 , dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2[/latex], où [latex]c_n[/latex] sont les coefficients de Fourier complexes.

L'inférence bayésienne est une méthode statistique qui utilise le théorème de Bayes pour mettre à jour la probabilité d'une hypothèse à mesure que de nouvelles preuves ou informations deviennent disponibles. Il s'agit d'un principe fondamental des statistiques bayésiennes. L'idée centrale s'exprime ainsi : la probabilité a posteriori est proportionnelle au produit de la probabilité a priori et de la vraisemblance, [latex]p(\theta|D) \propto p(D|\theta)p(\theta)[/latex], où [latex]\theta[/latex] est le paramètre et D les données.

Une série de Fourier décompose toute fonction ou tout signal périodique en une somme de fonctions oscillantes simples, à savoir des sinus et des cosinus. Pour une fonction [latex]s(x)[/latex] de période [latex]P[/latex], la série est donnée par [latex]s(x) \approx \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right)\right][/latex]. Les termes [latex]a_n[/latex] et [latex]b_n[/latex] sont les coefficients de Fourier.

Le théorème de Pythagore fournit la base de la formule de distance en coordonnées cartésiennes. La distance [latex]d[/latex] entre deux points [latex](x_1, y_1)[/latex] et [latex](x_2, y_2)[/latex] dans un plan est donnée par [latex]d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[/latex]. Cette formule est une application directe du théorème à un triangle rectangle dont les côtés sont les différences entre les coordonnées x et y.

Il s'agit d'un problème historique important en mathématiques. Sa résolution négative par Leonhard Euler en 1736 a jeté les bases de la théorie des graphes et préfiguré l'idée de topologie. Le problème demandait si les sept ponts de la ville de Königsberg pouvaient tous être traversés en un seul voyage sans revenir sur ses pas, le voyage se terminant sur la même masse terrestre qu'au départ.

Théorème fondamental en topologie et en géométrie stipulant que pour tout polyèdre convexe, le nombre de sommets (V), d'arêtes (E) et de faces (F) est lié par la formule [latex]V - E + F = 2[/latex]. Cette valeur, 2, est la caractéristique d'Euler d'une sphère, révélant une propriété topologique profonde indépendante de la forme spécifique du polyèdre.

Le théorème de Bayes décrit la probabilité d'un événement sur la base des connaissances préalables des conditions qui pourraient être liées à cet événement. Il s'agit d'un concept fondamental en théorie des probabilités et en statistiques. Mathématiquement, il s'écrit [latex]P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex], où A et B sont des événements et [latex]P(B) \neq 0[/latex]. Il relie les probabilités conditionnelles et marginales de deux événements aléatoires.

Une équation différentielle partielle elliptique linéaire du second ordre qui décrit des systèmes dans un état stable ou d'équilibre. Elle s'écrit [latex]nabla^2 u = 0[/latex] ou [latex]Delta u = 0[/latex], où [latex]nabla^2[/latex] (ou [latex]Delta[/latex]) est l'opérateur de Laplace. Les solutions, appelées fonctions harmoniques, sont les fonctions les plus lisses possibles et représentent des potentiels dans des domaines tels que l'électrostatique, la gravitation et l'écoulement des fluides.

Une approche standard pour l'approximation des solutions de systèmes surdéterminés en trouvant des paramètres de modèle qui minimisent la somme des différences au carré entre les valeurs observées et prédites. Cette somme est connue sous le nom de somme des résidus quadratiques (SSR). L'objectif est de trouver les paramètres [latex]\hat{\beta}[/latex] qui minimisent la fonction [latex]S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex].

Équation différentielle partielle parabolique linéaire fondamentale du second ordre décrivant la distribution de la chaleur ou d'autres processus de diffusion. Sa forme canonique est [latex]\frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla^2 u[/latex], où [latex]u(\vec{x},t)[/latex] est la température, [latex]t[/latex] est le temps et [latex]\alpha[/latex] est la diffusivité thermique. Les solutions modélisent l'évolution d'une distribution initiale de la température, lissant les irrégularités au fil du temps et s'approchant d'un état stable.

Les coefficients de la série de Fourier d'une fonction [latex]s(x)[/latex] de période [latex]P[/latex] sont calculés à l'aide de formules intégrales. La composante continue est [latex]a_0 = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) , dx[/latex]. Les coefficients cosinus sont [latex]a_n = \frac{2}{P} int_{P} s(x) \cos\left(\frac{2pi n x}{P}\right) , dx[/latex], et les coefficients sinus sont [latex]b_n = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) , dx[/latex] pour [latex]n ge 1[/latex].