The Prime Number Theorem describes the asymptotic distribution of prime numbers among the integers. It states that the prime-counting function [latex]\pi(x)[/latex], which gives the number of primes less than or equal to [latex]x[/latex], is asymptotically equivalent to [latex]x / \ln(x)[/latex]. Formally, [latex]\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln(x)} = 1[/latex]. This provides a fundamental link between primes and the natural logarithm.
The Prime Number Theorem (PNT) is a cornerstone of number theory that provides an approximate description of how prime numbers are distributed. The prime-counting function, [مطاط]\pi(x)[/latex], is a step function that jumps by 1 at each prime number. While the exact location of primes appears random, the PNT reveals a regular asymptotic behavior. The theorem doesn’t say that the difference between [latex]\pi(x)[/latex] and [latex]x/\ln(x)[/latex] is small, but rather that their ratio approaches 1 as [latex]x[/latex] becomes arbitrarily large. This means that for a large number [latex]x[/latex], the probability that a randomly chosen integer near [latex]x[/latex] is prime is about [latex]1/\ln(x)[/latex].
The idea was first conjectured in the late 18th century by Adrien-Marie Legendre (1798) and Carl Friedrich Gauss (1792), based on empirical evidence from tables of primes. They both proposed that [latex]\pi(x)[/latex] is approximately [latex]x/(\ln(x) – C)[/latex] for some constant C. However, proving this relationship required significant advances in mathematics, particularly in complex analysis. The first rigorous proofs were independently achieved by Jacques Hadamard and Charles-Jean de la Vallée Poussin in 1896. Their proofs were non-elementary, relying crucially on the properties of the Riemann zeta function in the complex plane, specifically showing it has no zeros on the line where the real part is 1.
متاح للتحديات الجديدة
مهندس ميكانيكي، مشروع، هندسة العمليات أو مدير البحث والتطوير
متاح لتحدي جديد في غضون مهلة قصيرة.
تواصل معي على LinkedIn
تكامل الإلكترونيات المعدنية والبلاستيكية، التصميم مقابل التكلفة، ممارسات التصنيع الجيدة (GMP)، بيئة العمل، الأجهزة والمواد الاستهلاكية متوسطة إلى عالية الحجم، التصنيع المرن، الصناعات الخاضعة للتنظيم، شهادات CE وFDA، التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD)، Solidworks، الحزام الأسود من Lean Sigma، شهادة ISO 13485 الطبية
احصل على جميع المقالات الجديدة
مجاني، لا يوجد بريد عشوائي، ولا يتم توزيع البريد الإلكتروني ولا إعادة بيعه
أو يمكنك الحصول على عضويتك الكاملة -مجانًا- للوصول إلى جميع المحتويات المحظورة >هنا<
(إذا كان التاريخ غير معروف أو غير ذي صلة، على سبيل المثال "ميكانيكا الموائع"، يتم تقديم تقدير تقريبي لظهوره الملحوظ)
الاختراع والابتكار والمبادئ التقنية ذات الصلة
{{العنوان}}
{% إذا كان المقتطف %}{{ مقتطفات | truncatewords: 55 }}
{% endif %}
