معامل التحديد (R²)

تشير الدقة إلى قرب القيمة المقيسة من قيمة قياسية أو قيمة حقيقية معروفة. تشير الدقة إلى مدى تقارب قياسين أو أكثر من القياسات مع بعضها البعض. يمكن أن يكون نظام القياس دقيقًا ولكن ليس دقيقًا، أو دقيقًا ولكن ليس دقيقًا، أو لا هذا ولا ذاك، أو كلاهما معًا. هذان المفهومان مستقلان عن بعضهما البعض في نظرية القياس.

الهندسة الريمانية هي فرع من فروع الهندسة التفاضلية يدرس المتشعبات الريمانية، وهي متشعبات ملساء مزودة بمقياس ريمان. هذا المقياس هو مجموعة من الضربات الداخلية في الفضاءات المماسّة، تتغير بسلاسة من نقطة إلى أخرى. يسمح هذا بتعريف مفاهيم هندسية محلية مثل الزاوية، وطول المنحنيات، ومساحة السطح، والحجم، مما يؤدي إلى مفهوم عام للانحناء.

التشابه هو دالة متصلة بين فضاءين طوبولوجيين لها دالة عكسية متصلة. يسمى الفضاءان الطوبولوجيان متماثلين إذا كانت هذه الدالة موجودة. من وجهة نظر طوبولوجية، تكون الفضاءات المتماثلة متطابقة. يجسد هذا المفهوم فكرة أن الجسم يمكن أن يتمدد أو ينحني أو يتشوه إلى جسم آخر دون تمزيق أو لصق، مثل كوب قهوة في كعكة دونات.

الفضاء الطوبولوجي هو زوج مرتب [latex](X، \tau)[/latex]، حيث [latex]X[/latex] مجموعة و[latex]\tau[/latex] مجموعة من المجموعات الجزئية لـ [latex]X[/latex]، تسمى مجموعات مفتوحة، تحقق ثلاث بديهيات: 1) المجموعة الفارغة [latex]\emptyset[/latex] و[latex]X[/latex] نفسها في [latex]\tau[/latex]. 2) إن اتحاد أي عدد من المجموعات في [latex]\Tau[/latex] يقع أيضًا في [latex]\Tau[/latex]. 3) تقاطع أي عدد منتهٍ من المجموعات في [latex]\tau1Tau[/latex] يقع أيضًا في [latex]\tau[/latex].

تحليل التباين (ANOVA) هو أسلوب إحصائي يُقسّم إجمالي التباين المُلاحظ في مجموعة بيانات إلى مكونات تُعزى إلى مصادر مختلفة. الفكرة الأساسية هي مقارنة التباين بين متوسطات المجموعات المختلفة بالتباين داخلها. إذا كان التباين بين المجموعات أكبر بكثير، فهذا يُشير إلى اختلاف حقيقي في متوسطات المجموعات.

قوانين دي مورغان هي زوج من قواعد التحويل في الجبر المنطقي التي تُعد أساسية لتصميم الدوائر الرقمية. وينص القانون الأول على أن نفي الاقتران هو نفي النفي: [latex]/نفي (P \land Q) \iff (\nالسالب P) \Lor (\السالب Q)[/latex]. والثاني ينص على أن نفي النفي هو اقتران النفيين: [latex] \Neg(P \LOR Q) \iff (\Neg P) \LAND (\Neg Q)[/latex].

المتشعّب القابل للاشتقاق هو فضاء طوبولوجي مشابه محليًّا للفضاء الإقليديان، مما يسمح بتطبيق التفاضل والتكامل. كل نقطة لها جوار متجانس مع مجموعة فرعية مفتوحة من [latex]\mathbbb{R}^n[/latex]. وترتبط أنظمة الإحداثيات المحلية هذه، التي تُسمَّى المخططات بدوال انتقالية سلسة، لتُشكِّل أطلسًا يُحدِّد البنية القابلة للاشتقاق للمتشعب.

تعتمد الإلكترونيات الرقمية على الجبر المنطقي، وهو نظام رياضي للمنطق قدمه جورج بول. وهو يستخدم قيمتين، عادةً 0 و1 (أو خطأ وصواب)، وثلاث عمليات أساسية: AND (اقتران)، OR (فك الارتباط)، OR (فك الارتباط)، و NOT (النفي). تتوافق هذه العمليات مباشرة مع البوابات المنطقية التي تشكل اللبنات الأساسية لجميع الدوائر الرقمية.

تصف نظرية الأعداد الأولية التوزيع التقريبي للأعداد الأولية بين الأعداد الصحيحة. وهي تنصّ على أن دالة عد الأعداد الأولية [latex]\pi(x)[/latex]، التي تعطي عدد الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي [latex]x[/latex]، تكافئ تقريبيًا [latex]x / \ln(x)[/latex]. بشكل رسمي، [latex]\lim_{x \ إلى \ntfty} \frac{\pi(x)}{x/\ln(x)} = 1[/latex]. وهذا يوفر رابطًا أساسيًا بين الأعداد الأولية واللوغاريتم الطبيعي.

تنص هذه النظرية على أنه بالنسبة لأي دالة متصلة [latex]f[/latex] ترسم مجموعة محدبة مضغوطة لنفسها، هناك نقطة [latex]x_0[/latex] بحيث تكون [latex]f(x_0) = x_0[/latex]. تُسمّى هذه النقطة نقطة ثابتة. بشكل غير رسمي، إذا أخذت خريطة لبلد ما، وقمت بتجعيدها ووضعها داخل حدود البلد، فستكون هناك دائماً نقطة واحدة على الأقل على الخريطة فوق موقعها المناظر في العالم الحقيقي مباشرةً.

تُستخدم الطريقة الأحادية الاتجاه ANOVA لتحديد ما إذا كانت هناك أي اختلافات ذات دلالة إحصائية بين متوسطات ثلاث مجموعات مستقلة أو أكثر. وهو يحلل تأثير متغير مستقل فئوي واحد، يُعرف باسم العامل، على متغير تابع متصل. تنص الفرضية الفارغة على أن جميع متوسطات المجموعات متساوية، [latex]H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_k[/latex].

إن شرط كورانت-فريدريكس-ليوي (CFL) هو معيار استقرار ضروري للحلول العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية باستخدام مخططات التكامل الزمني الصريحة. وينص هذا الشرط على أن حجم الخطوة الزمنية يجب أن يكون صغيرًا بما يكفي بحيث لا تنتقل المعلومات أكثر من خلية شبكة مكانية واحدة لكل خطوة زمنية. بالنسبة لحالة 1D، [latex]C = u \frac{\Delta t}{\Delta x} \le C_{max}[/latex]، مما يضمن الاستقرار العددي.

لكي تُعتبر نتائج تحليل التباين صحيحة، يجب استيفاء عدة افتراضات رئيسية حول البيانات. وهي: (1) استقلالية الملاحظات، أي عدم ارتباط الأخطاء. (2) التوزيع الطبيعي، أي توزيع البقايا لكل مجموعة توزيعًا طبيعيًا تقريبًا. (3) تجانس التباين، أي تساوي تباين البقايا في جميع المجموعات.