نظرية الأعداد الأولية

تشير الدقة إلى مدى قرب القيمة المقاسة من قيمة معيارية أو قيمة حقيقية معروفة. أما الضبط فيشير إلى مدى تقارب قياسين أو أكثر. قد يكون نظام القياس دقيقًا ولكنه غير دقيق، أو دقيقًا ولكنه غير مضبوط، أو كليهما، أو لا هذا ولا ذاك. هذان المفهومان مستقلان عن بعضهما في نظرية القياس.

الهندسة الريمانية هي فرع من فروع الهندسة التفاضلية يدرس المتشعبات الريمانية، وهي متشعبات ملساء مزودة بمقياس ريمان. هذا المقياس هو مجموعة من الضربات الداخلية في الفضاءات المماسّة، تتغير بسلاسة من نقطة إلى أخرى. يسمح هذا بتعريف مفاهيم هندسية محلية مثل الزاوية، وطول المنحنيات، ومساحة السطح، والحجم، مما يؤدي إلى مفهوم عام للانحناء.

في الجبر الخطي، تنص نظرية الرتبة واللاشيء على أنه بالنسبة لأي خريطة خطية [latex]T: V \to W[/latex] بين الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة، فإن بُعد مجالها [latex]V[/latex] هو مجموع رتبتها (بُعد صورتها) ولاشيئها (بُعد نواةها). الصيغة هي [latex]\dim(V) = \text{rank}(T) + \text{nullity}(T)[/latex].

إحصائية تشير إلى مدى ملاءمة النموذج، وتمثل نسبة التباين في المتغير التابع التي يمكن التنبؤ بها من المتغير المستقل (المتغيرات المستقلة). يشير الرمز R² الذي يساوي 1 إلى ملاءمة تامة، بينما يشير 0 إلى عدم وجود علاقة خطية. يتم حسابه على الصورة [latex]R ^2 \equiv 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}[/latex]، حيث [latex]SS_S{res}[/latex] هو مجموع المربعات المتبقية.

يُعمّق مؤشر فريدهولم نظرية الترتيب واللاشيء إلى الفضاءات ذات الأبعاد اللانهائية مثل فضاءات باناخ. بالنسبة لمشغل فريدهولم [latex]T: X \to Y[/latex]، يتم تعريف مؤشره على أنه [latex]\text{ind}(T) = \dim(\ker(T)) - \dim(\text{coker}(T))[/latex]، حيث يقيس بُعد كوكيرنيل مدى بعد الصورة عن الفضاء بأكمله. هذا المؤشر هو قيمة عددية ثابتة في ظل اضطرابات صغيرة للمشغل.

الفضاء الطوبولوجي هو زوج مرتب [latex](X، \tau)[/latex]، حيث [latex]X[/latex] مجموعة و[latex]\tau[/latex] مجموعة من المجموعات الجزئية لـ [latex]X[/latex]، تسمى مجموعات مفتوحة، تحقق ثلاث بديهيات: 1) المجموعة الفارغة [latex]\emptyset[/latex] و[latex]X[/latex] نفسها في [latex]\tau[/latex]. 2) إن اتحاد أي عدد من المجموعات في [latex]\Tau[/latex] يقع أيضًا في [latex]\Tau[/latex]. 3) تقاطع أي عدد منتهٍ من المجموعات في [latex]\tau1Tau[/latex] يقع أيضًا في [latex]\tau[/latex].

قوانين دي مورغان هي زوج من قواعد التحويل في الجبر المنطقي التي تُعد أساسية لتصميم الدوائر الرقمية. وينص القانون الأول على أن نفي الاقتران هو نفي النفي: [latex]/نفي (P \land Q) \iff (\nالسالب P) \Lor (\السالب Q)[/latex]. والثاني ينص على أن نفي النفي هو اقتران النفيين: [latex] \Neg(P \LOR Q) \iff (\Neg P) \LAND (\Neg Q)[/latex].

المتشعّب القابل للاشتقاق هو فضاء طوبولوجي مشابه محليًّا للفضاء الإقليديان، مما يسمح بتطبيق التفاضل والتكامل. كل نقطة لها جوار متجانس مع مجموعة فرعية مفتوحة من [latex]\mathbbb{R}^n[/latex]. وترتبط أنظمة الإحداثيات المحلية هذه، التي تُسمَّى المخططات بدوال انتقالية سلسة، لتُشكِّل أطلسًا يُحدِّد البنية القابلة للاشتقاق للمتشعب.

تعتمد الإلكترونيات الرقمية على الجبر البولياني، وهو نظام منطقي رياضي وضعه جورج بول. يستخدم هذا النظام قيمتين، عادةً 0 و1 (أو خطأ وصواب)، وثلاث عمليات أساسية: "و" (الربط)، و"أو" (الفصل)، و"ليس" (النفي). تتوافق هذه العمليات مباشرةً مع البوابات المنطقية التي تُشكل اللبنات الأساسية لجميع الدوائر الرقمية.

التشاكل الموضعي هو دالة متصلة بين فضاءين طوبولوجيين، ولها دالة عكسية متصلة. يُطلق على فضاءين طوبولوجيين اسم "متماثلين موضعيًا" إذا وُجدت مثل هذه الدالة. من وجهة نظر طوبولوجية، الفضاءات المتماثلة موضعيًا متطابقة. يُجسد هذا المفهوم فكرة إمكانية تحويل جسم ما إلى جسم آخر دون تمزيقه أو لصقه، كما هو الحال عند تحويل كوب قهوة إلى كعكة دونات.

تصف ظاهرة جيبس ​​سلوك متسلسلة فورييه عند انقطاع قفزي. تُظهر المجاميع الجزئية للمتسلسلة تجاوزًا قرب القفزة، والذي لا يختفي بإضافة المزيد من الحدود. يتقارب هذا التجاوز إلى قيمة ثابتة تبلغ حوالي 9% من ارتفاع القفزة، بغض النظر عن عدد الحدود في المتسلسلة.

تنص هذه النظرية على أنه في نموذج الانحدار الخطي، حيث يكون متوسط ​​الأخطاء صفرًا، وغير مترابطة، وذات تباين ثابت (تجانس التباين)، يكون مُقدّر المربعات الصغرى العادية (OLS) هو أفضل مُقدّر خطي غير متحيز (BLUE). ويعني "الأفضل" أنه يمتلك أدنى تباين بين جميع المُقدّرين الخطيين غير المتحيزين لمعاملات الانحدار، مما يجعله الأكثر دقة.

تنص هذه النظرية على أنه بالنسبة لأي دالة متصلة [latex]f[/latex] ترسم مجموعة محدبة مضغوطة لنفسها، هناك نقطة [latex]x_0[/latex] بحيث تكون [latex]f(x_0) = x_0[/latex]. تُسمّى هذه النقطة نقطة ثابتة. بشكل غير رسمي، إذا أخذت خريطة لبلد ما، وقمت بتجعيدها ووضعها داخل حدود البلد، فستكون هناك دائماً نقطة واحدة على الأقل على الخريطة فوق موقعها المناظر في العالم الحقيقي مباشرةً.

نظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل، واختصارها ZFC (مع مُسلّمة الاختيار)، هي النظام البديهي القياسي في الرياضيات المعاصرة. تتكون من مجموعة من البديهيات، المُعبّر عنها بمنطق الرتبة الأولى، والتي تُصوغ خصائص المجموعات. يُمكن صياغة وإثبات جميع النظريات الرياضية المُستخدمة حاليًا تقريبًا باستخدام ZFC.