متسلسلة فورييه

وهي واحدة من أقدم المسائل في الاحتمالات الهندسية، وتُعتبر مقدمة لطريقة مونت كارلو. وهي تتضمن إسقاط إبرة طولها [latex]l[/latex] على أرضية بها خطوط متوازية تفصل بينها مسافة [latex]T[/latex]. احتمال أن تعبر الإبرة خطًا ما يساوي [latex]P = \frac{2l}{\pi t}[/latex] (ل [latex]l \le t[/latex]). وهذا يوفر تجربة فيزيائية لتقدير [latex] \pi[/latex].

تربط نظرية بارسفال الطاقة الكلية للإشارة (تكامل مربعها على مدى فترة واحدة) بمجموع طاقات مربعات مكونات سلسلة فورييه. بالنسبة للدالة [latex]s(x)[/latex] ذات الفترة [latex]P[/latex]، تنص النظرية على ما يلي: [latex]\frac{1}{P} \int_P |s(x)|^2 , dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2[/latex]، حيث [latex]c_n[/latex] هي معاملات فورييه المركبة.

الاستدلال البايزي هو طريقة إحصائية تستخدم فيها نظرية بايز لتحديث احتمالية فرضية ما مع توفر المزيد من الأدلة أو المعلومات. وهو مبدأ أساسي في الإحصاء البايزي. وتتمثل الفكرة الأساسية في أن الاحتمال اللاحق يتناسب مع حاصل ضرب الاحتمال المسبق والاحتمالية، [latex]p(\theta|D) \propto p(D|\theta)p(\theta)[/latex]، حيث [latex]\theta[/latex] هو المعامل و D هي البيانات.

تنص نظرية إيجيريوم (وتعني باللاتينية "النظرية الرائعة") على أن الانحناء الغاوسي للسطح خاصية جوهرية. وهذا يعني أنه يعتمد فقط على كيفية قياس المسافات على السطح نفسه، وليس على كيفية تضمين السطح في الفضاء الثلاثي الأبعاد. يمكن لف ورقة مسطحة على شكل أسطوانة ولكن ليس على شكل كرة دون أن تتمدد.

لكي تتقارب متسلسلة فورييه مع قيمة الدالة، يجب أن تُلبي الدالة شروط ديريشليت خلال فترة واحدة. وهذه الشروط هي: (1) أن تكون الدالة قابلة للتكامل المطلق، (2) أن يكون لها عدد محدود من القيم القصوى والدنيا، و(3) أن يكون لها عدد محدود من نقاط الانقطاع المحدودة.

قوانين دي مورغان هي زوج من قواعد التحويل في الجبر المنطقي التي تُعد أساسية لتصميم الدوائر الرقمية. وينص القانون الأول على أن نفي الاقتران هو نفي النفي: [latex]/نفي (P \land Q) \iff (\nالسالب P) \Lor (\السالب Q)[/latex]. والثاني ينص على أن نفي النفي هو اقتران النفيين: [latex] \Neg(P \LOR Q) \iff (\Neg P) \LAND (\Neg Q)[/latex].

يصف نظرية بايز احتمالية وقوع حدث ما بناءً على المعرفة المسبقة بالظروف التي قد تكون مرتبطة بالحدث. وهي مفهوم أساسي في نظرية الاحتمالات والإحصاء. من الناحية الرياضية، يتم التعبير عنه على النحو التالي: [latex]P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex]، حيث A و B هما حدثان و [latex]P(B) \neq 0[/latex]. ويربط بين الاحتمالات الشرطية والهامشية لحدثين عشوائيين.

معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية خطية من الرتبة الثانية تصف الأنظمة في حالة استقرار أو حالة توازن. وهي مكتوبة على الصورة [latex]nabla^2 u = 0[/latex] أو [latex]Delta u = 0[/latex]، حيث [latex]nabla^2[/latex] (أو [latex]Delta[/latex]) هو مشغل لابلاس. الحلول التي تُسمى الدوال التوافقية هي أنعم الدوال الممكنة وتمثل الإمكانات في مجالات مثل الكهرباء الساكنة والجاذبية وسريان الموائع.

نهج قياسي لتقريب الحلول للأنظمة المفرطة التحديد من خلال إيجاد معلمات النموذج التي تقلل مجموع الفروق التربيعية بين القيم المرصودة والمتوقعة. يُعرف هذا المجموع باسم مجموع المربعات المتبقية (SSR). والهدف هو إيجاد المعلمات [latex] \{{\beta}[/latex] التي تقلل الدالة [latex]T(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex].

معادلة تفاضلية جزئية مكافئة خطية أساسية من الدرجة الثانية تصف توزيع الحرارة أو عمليات الانتشار الأخرى. شكلها المتعارف عليه هو [latex] \frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla ^2 u[/latex]، حيث [latex]u(\vec{x},t)[/latex] هي درجة الحرارة، و[latex]TT[/latex] هي الزمن، و[latex]\alpha[/latex] هي الانتشار الحراري. تمثل الحلول نموذجًا لكيفية تطور التوزيع الابتدائي لدرجة الحرارة، مما يخفف من عدم الانتظام بمرور الوقت ويقترب من حالة مستقرة.

يتم حساب معاملات متسلسلة فورييه لدالة [latex]s(x)[/latex] ذات الفترة [latex]P[/latex] باستخدام صيغ التكامل. المكون DC هو [latex]a_0 = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) , dx[/latex]. معاملات جيب التمام هي [latex]a_n = \frac{2}{P} int_{P} s(x) \cos\left(\frac{2pi n x}{P}\right) , dx[/latex]، ومعاملات الجيب هي [latex]b_n = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) ، dx[/latex] لـ [latex]n ge 1[/latex].

الحل الأساسي للمشغل التفاضلي الجزئي الخطي [latex]L[/latex] هو حل للمعادلة [latex]Lu = دلتا(س)[/latex]، حيث [latex]Delta(س)[/latex] هي دالة دلتا ديراك. وهي تمثّل استجابة النظام لمصدر نقطي أو دافع. بمجرد معرفتها، يمكن إيجاد حل المعادلة غير المتجانسة [latex]Lu = f(x)[/latex] عن طريق الالتفاف: [latex]Tu(x) = (G * f)(x) [/latex]، حيث [latex]G[/latex] هو الحل الأساسي.

تربط نظرية غاوس-بونيه بين هندسة سطح مضغوط ثنائي الأبعاد وطوبولوجيته. وهي تنص على أن تكامل تكامل انحناء غاوس [latex]K[/latex] على السطح بأكمله [latex]M[/latex] يساوي [latex]2\pi[/latex] مضروبًا في خاصية أويلر [latex]\chi(M)[/latex] للسطح. والمعادلة هي [latex]\Tint_M K \، dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

تشير الدقة إلى مدى قرب القيمة المقاسة من قيمة معيارية أو قيمة حقيقية معروفة. أما الضبط فيشير إلى مدى تقارب قياسين أو أكثر. قد يكون نظام القياس دقيقًا ولكنه غير دقيق، أو دقيقًا ولكنه غير مضبوط، أو كليهما، أو لا هذا ولا ذاك. هذان المفهومان مستقلان عن بعضهما في نظرية القياس.