نظرية جاوس إيجريوم لجاوس

تربط نظرية بارسفال الطاقة الكلية للإشارة (تكامل مربعها على مدى فترة واحدة) بمجموع طاقات مربعات مكونات سلسلة فورييه. بالنسبة للدالة [latex]s(x)[/latex] ذات الفترة [latex]P[/latex]، تنص النظرية على ما يلي: [latex]\frac{1}{P} \int_P |s(x)|^2 , dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2[/latex]، حيث [latex]c_n[/latex] هي معاملات فورييه المركبة.

الاستدلال البايزي هو طريقة إحصائية تستخدم فيها نظرية بايز لتحديث احتمالية فرضية ما مع توفر المزيد من الأدلة أو المعلومات. وهو مبدأ أساسي في الإحصاء البايزي. وتتمثل الفكرة الأساسية في أن الاحتمال اللاحق يتناسب مع حاصل ضرب الاحتمال المسبق والاحتمالية، [latex]p(\theta|D) \propto p(D|\theta)p(\theta)[/latex]، حيث [latex]\theta[/latex] هو المعامل و D هي البيانات.

تقوم متسلسلة فورييه بتحليل أي دالة أو إشارة دورية إلى مجموع دوال تذبذبية بسيطة، وهي الدوال الجيبية والكوسينية. بالنسبة للدالة [latex]s(x)[/latex] ذات الفترة [latex]P[/latex]، تكون السلسلة كما يلي [latex]s(x) \approx \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right)\right][/latex]. المصطلحات [latex]a_n[/latex] و [latex]b_n[/latex] هي معاملات فورييه.

لكي تتقارب متسلسلة فورييه مع قيمة الدالة، يجب أن تُلبي الدالة شروط ديريشليت خلال فترة واحدة. وهذه الشروط هي: (1) أن تكون الدالة قابلة للتكامل المطلق، (2) أن يكون لها عدد محدود من القيم القصوى والدنيا، و(3) أن يكون لها عدد محدود من نقاط الانقطاع المحدودة.

قوانين دي مورغان هي زوج من قواعد التحويل في الجبر المنطقي التي تُعد أساسية لتصميم الدوائر الرقمية. وينص القانون الأول على أن نفي الاقتران هو نفي النفي: [latex]/نفي (P \land Q) \iff (\nالسالب P) \Lor (\السالب Q)[/latex]. والثاني ينص على أن نفي النفي هو اقتران النفيين: [latex] \Neg(P \LOR Q) \iff (\Neg P) \LAND (\Neg Q)[/latex].

المتشعّب القابل للاشتقاق هو فضاء طوبولوجي مشابه محليًّا للفضاء الإقليديان، مما يسمح بتطبيق التفاضل والتكامل. كل نقطة لها جوار متجانس مع مجموعة فرعية مفتوحة من [latex]\mathbbb{R}^n[/latex]. وترتبط أنظمة الإحداثيات المحلية هذه، التي تُسمَّى المخططات بدوال انتقالية سلسة، لتُشكِّل أطلسًا يُحدِّد البنية القابلة للاشتقاق للمتشعب.

معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية خطية من الرتبة الثانية تصف الأنظمة في حالة استقرار أو حالة توازن. وهي مكتوبة على الصورة [latex]nabla^2 u = 0[/latex] أو [latex]Delta u = 0[/latex]، حيث [latex]nabla^2[/latex] (أو [latex]Delta[/latex]) هو مشغل لابلاس. الحلول التي تُسمى الدوال التوافقية هي أنعم الدوال الممكنة وتمثل الإمكانات في مجالات مثل الكهرباء الساكنة والجاذبية وسريان الموائع.

نهج قياسي لتقريب الحلول للأنظمة المفرطة التحديد من خلال إيجاد معلمات النموذج التي تقلل مجموع الفروق التربيعية بين القيم المرصودة والمتوقعة. يُعرف هذا المجموع باسم مجموع المربعات المتبقية (SSR). والهدف هو إيجاد المعلمات [latex] \{{\beta}[/latex] التي تقلل الدالة [latex]T(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex].

معادلة تفاضلية جزئية مكافئة خطية أساسية من الدرجة الثانية تصف توزيع الحرارة أو عمليات الانتشار الأخرى. شكلها المتعارف عليه هو [latex] \frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla ^2 u[/latex]، حيث [latex]u(\vec{x},t)[/latex] هي درجة الحرارة، و[latex]TT[/latex] هي الزمن، و[latex]\alpha[/latex] هي الانتشار الحراري. تمثل الحلول نموذجًا لكيفية تطور التوزيع الابتدائي لدرجة الحرارة، مما يخفف من عدم الانتظام بمرور الوقت ويقترب من حالة مستقرة.

يتم حساب معاملات متسلسلة فورييه لدالة [latex]s(x)[/latex] ذات الفترة [latex]P[/latex] باستخدام صيغ التكامل. المكون DC هو [latex]a_0 = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) , dx[/latex]. معاملات جيب التمام هي [latex]a_n = \frac{2}{P} int_{P} s(x) \cos\left(\frac{2pi n x}{P}\right) , dx[/latex]، ومعاملات الجيب هي [latex]b_n = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) ، dx[/latex] لـ [latex]n ge 1[/latex].

الحل الأساسي للمشغل التفاضلي الجزئي الخطي [latex]L[/latex] هو حل للمعادلة [latex]Lu = دلتا(س)[/latex]، حيث [latex]Delta(س)[/latex] هي دالة دلتا ديراك. وهي تمثّل استجابة النظام لمصدر نقطي أو دافع. بمجرد معرفتها، يمكن إيجاد حل المعادلة غير المتجانسة [latex]Lu = f(x)[/latex] عن طريق الالتفاف: [latex]Tu(x) = (G * f)(x) [/latex]، حيث [latex]G[/latex] هو الحل الأساسي.

تربط نظرية غاوس-بونيه بين هندسة سطح مضغوط ثنائي الأبعاد وطوبولوجيته. وهي تنص على أن تكامل تكامل انحناء غاوس [latex]K[/latex] على السطح بأكمله [latex]M[/latex] يساوي [latex]2\pi[/latex] مضروبًا في خاصية أويلر [latex]\chi(M)[/latex] للسطح. والمعادلة هي [latex]\Tint_M K \، dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

تشير الدقة إلى مدى قرب القيمة المقاسة من قيمة معيارية أو قيمة حقيقية معروفة. أما الضبط فيشير إلى مدى تقارب قياسين أو أكثر. قد يكون نظام القياس دقيقًا ولكنه غير دقيق، أو دقيقًا ولكنه غير مضبوط، أو كليهما، أو لا هذا ولا ذاك. هذان المفهومان مستقلان عن بعضهما في نظرية القياس.

الهندسة الريمانية هي فرع من فروع الهندسة التفاضلية يدرس المتشعبات الريمانية، وهي متشعبات ملساء مزودة بمقياس ريمان. هذا المقياس هو مجموعة من الضربات الداخلية في الفضاءات المماسّة، تتغير بسلاسة من نقطة إلى أخرى. يسمح هذا بتعريف مفاهيم هندسية محلية مثل الزاوية، وطول المنحنيات، ومساحة السطح، والحجم، مما يؤدي إلى مفهوم عام للانحناء.