One of the earliest problems in geometric probability, it is considered a precursor to the Monte Carlo method. It involves dropping a needle of length [latex]l[/latex] onto a floor with parallel lines a distance [latex]t[/latex] apart. The probability that the needle will cross a line is [latex]P = \frac{2l}{\pi t}[/latex] (for [latex]l \le t[/latex]). This provides a physical experiment to estimate [latex]\pi[/latex].
In 1733, Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, posed the question: what is the probability that a needle, when dropped randomly on a ruled surface, will intersect one of the lines? The solution, published in 1777, is a classic result in geometric probability. To solve it, let the needle have length [latex]l[/latex] and the parallel lines be separated by a distance [latex]t \ge l[/latex]. The position of the needle can be described by two variables: the distance [latex]x[/latex] from the center of the needle to the nearest line, and the angle [latex]\theta[/latex] the needle makes with the lines. The variable [latex]x[/latex] is uniformly distributed in [latex][0, t/2][/latex], and [latex]\theta[/latex] is uniformly distributed in [latex][0, \pi/2][/latex].
The needle crosses a line if [latex]x \le \frac{l}{2}\sin\theta[/latex]. The problem is to find the area of this region in the [latex](x, \theta)[/latex] parameter space and divide it by the total area of the parameter space, which is [latex]\frac{t}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi t}{4}[/latex]. The area of the “favorable” region (where a crossing occurs) is given by the integral [latex]\int_0^{\pi/2} \frac{l}{2}\sin\theta \,d\theta = \frac{l}{2}[-\cos\theta]_0^{\pi/2} = \frac{l}{2}[/latex]. The probability is the ratio of these areas: [latex]P = \frac{l/2}{\pi t/4} = \frac{2l}{\pi t}[/latex]. By performing the experiment many times and observing the frequency of crossings, one can rearrange the formula to estimate [latex]\pi[/latex]: [latex]\pi \approx \frac{2l}{tP}[/latex]. This physical simulation to solve a mathematical problem is a direct intellectual ancestor of modern Monte Carlo methods.
متاح للتحديات الجديدة
مهندس ميكانيكي، مشروع، هندسة العمليات أو مدير البحث والتطوير
متاح لتحدي جديد في غضون مهلة قصيرة.
تواصل معي على LinkedIn
تكامل الإلكترونيات المعدنية والبلاستيكية، التصميم مقابل التكلفة، ممارسات التصنيع الجيدة (GMP)، بيئة العمل، الأجهزة والمواد الاستهلاكية متوسطة إلى عالية الحجم، التصنيع المرن، الصناعات الخاضعة للتنظيم، شهادات CE وFDA، التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD)، Solidworks، الحزام الأسود من Lean Sigma، شهادة ISO 13485 الطبية
احصل على جميع المقالات الجديدة
مجاني، لا يوجد بريد عشوائي، ولا يتم توزيع البريد الإلكتروني ولا إعادة بيعه
أو يمكنك الحصول على عضويتك الكاملة -مجانًا- للوصول إلى جميع المحتويات المحظورة >هنا<
(إذا كان التاريخ غير معروف أو غير ذي صلة، على سبيل المثال "ميكانيكا الموائع"، يتم تقديم تقدير تقريبي لظهوره الملحوظ)
الاختراع والابتكار والمبادئ التقنية ذات الصلة
{{العنوان}}
{% إذا كان المقتطف %}{{ مقتطفات | truncatewords: 55 }}
{% endif %}
