高斯的 Egregium 理论

拓扑学和几何学中的一个基本定理，指出对于任何凸多面体，顶点数（V）、边数（E）和面数（F）的关系式为 [latex]V - E + F = 2[/latex]。这个值，即 2，是球体的欧拉特性，揭示了与多面体具体形状无关的深层拓扑特性。

One of the earliest problems in geometric probability, it is considered a precursor to the Monte Carlo method. It involves dropping a needle of length [latex]l[/latex] onto a floor with parallel lines a distance [latex]t[/latex] apart. The probability that the needle will cross a line is [latex]P = \frac{2l}{\pi t}[/latex] (for [latex]l \le t[/latex]). This provides a physical experiment to estimate [latex]\pi[/latex].

A standard approach for approximating solutions to overdetermined systems by finding model parameters that minimize the sum of the squared differences between observed and predicted values. This sum is known as the sum of squared residuals (SSR). The goal is to find the parameters [latex]\hat{\beta}[/latex] that minimize the function [latex]S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex].

高斯-波奈定理将紧凑二维曲面的几何与拓扑联系起来。它指出，整个曲面 [latex]M[/latex] 上的高斯曲率积分 [latex]K[/latex] 等于曲面的欧拉特性 [latex]2\pi[/latex] 乘以欧拉特性 [latex]/chi(M)[/latex]。公式为 [latex]\int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

准确度是指测量值与标准值或已知真实值的接近程度。精确度是指两个或多个测量值相互之间的接近程度。一个测量系统可以是精确但不准确，准确但不精确，两者都不是，或两者兼而有之。在测量理论中，这两个概念是相互独立的。

黎曼几何是微分几何的一个分支，研究黎曼流形——具有黎曼度量的光滑流形。该度量是切空间上内积的集合，其值随点而平滑变化。它允许定义局部几何概念，例如角度、曲线长度、表面积和体积，从而引出广义的曲率概念。

二阶线性双曲偏微分方程，用于控制各种波的传播。最简单的形式是 [latex]\frac\{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex]，其中 [latex]u(\vec{x},t)[/latex] 是波的振幅，[latex]c[/latex] 是波速，[latex]\nabla^2[/latex] 是拉普拉斯算子。它是振动弦、声波和光波等现象的模型。

欧拉特性是一个拓扑不变量，是一个描述拓扑空间结构或形状的数字，与空间的弯曲方式无关。对于多面体，它由公式 [latex]\chi = V - E + F[/latex] 定义，其中 V、E 和 F 分别是顶点、边和面的数量。对于球面，[latex]\chi = 2[/latex]，而对于环面，[latex]\chi = 0[/latex]。

二阶线性椭圆偏微分方程，用于描述稳态或平衡条件下的系统。它被写成 [latex]nabla^2 u = 0[/latex] 或 [latex]Delta u = 0[/latex]，其中 [latex]nabla^2[/latex]（或 [latex]Delta[/latex]）是拉普拉斯算子。解称为谐函数，是最平滑的函数，代表静电、重力和流体流动等领域的电势。

描述热分布或其他扩散过程的基本二阶线性抛物线偏微分方程。其典型形式为 [latex]\frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla^2 u[/latex]，其中 [latex]u(\vec{x},t)[/latex] 为温度，[latex]t[/latex] 为时间，[latex]\alpha[/latex] 为热扩散率。解法模拟了初始温度分布的演变过程，随着时间的推移，不规则的温度分布逐渐平滑并接近稳定状态。

线性偏微分算子 [latex]L[/latex] 的基本解是方程 [latex]Lu = delta(x)[/latex] 的解，其中 [latex]delta(x)[/latex] 是 Dirac delta 函数。它表示系统对点源或脉冲的响应。一旦知道了非均相方程 [latex]Lu = f(x)[/latex] 的解，就可以通过卷积求得：[latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], 其中 [latex]G[/latex] 为基本解。

德摩根定律是布尔代数中的一对变换规则，是数字电路设计的基础。第一条定律指出，连合的否定是否定的析取：[latex]\neg(P \land Q) \iff (\neg P) \lor (\neg Q)[/latex].第二种说法是，析取的否定是否定的合取：[latex]\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)[/latex].

可微分流形是一个局部类似于欧几里得空间的拓扑空间，允许微积分的应用。每个点都有一个与 [latex]\mathbb{R}^n[/latex] 的开放子集同构的邻域。这些局部坐标系被称为图，它们通过平稳过渡函数相互关联，形成了定义流形可微分结构的图集。

数字电子技术以布尔代数为基础，布尔代数是乔治-布尔提出的一种数学逻辑系统。它使用两个值，通常是 0 和 1（或假和真），以及三种基本运算：AND（连接）、OR（析取）和 NOT（否定）。这些运算直接对应于构成所有数字电路构件的逻辑门。