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吉布斯现象

1899

Henry Wilbraham
J. Willard Gibbs

（图片仅供参考）

The Gibbs phenomenon describes the behavior of a 傅立叶 series at a jump discontinuity. The partial sums of the series exhibit an overshoot near the jump, which does not disappear as more terms are added. This overshoot converges to a constant value of about 9% of the jump height, regardless of the number of terms in the series.

When a function with a jump discontinuity, like a square wave, is approximated by its Fourier series, the approximation is not perfect at the discontinuity. As more terms are added to the series (i.e., as the approximation includes higher frequencies), the approximation gets better everywhere except in the immediate vicinity of the jump. Near the jump, the partial sum overshoots the function’s value. The width of this overshoot region shrinks as more terms are added, but the height of the overshoot remains constant.

This overshoot is not a sign of non-convergence. The series does converge pointwise, and at the discontinuity itself, it converges to the midpoint of the jump as predicted by Dirichlet’s theorem. However, the convergence is not uniform. The maximum overshoot, related to the Wilbraham-Gibbs constant, is approximately [latex]frac{1}{pi} int_0^pi frac{sin t}{t} dt – frac{1}{2} approx 0.08949…[/latex] times the jump size. This phenomenon is a fundamental property of series approximations of discontinuous functions and is important in signal and image processing, where it can manifest as ‘ringing’ artifacts near sharp edges.

Algorithms, 生物医学传感器, 医学数字成像和通信（DICOM）, 傅里叶变换红外光谱法（FTIR）, 质量控制, 信号处理

UNESCO Nomenclature: 1201

– 代数

类型

抽象系统

中断

重大的

用法

广泛使用

前体

不连续函数的傅里叶级数表示
Dirichlet’s convergence theorem
部分和与级数收敛的概念
study of the Sinc function [latex]\frac{\sin(x)}{x}[/latex]

应用程序

信号处理（滤波器设计）
图像处理（伪影分析）
数值分析
磁共振成像（MRI）

专利：

潜在创新理念

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Related to: Gibbs phenomenon, Fourier series, jump discontinuity, overshoot, ringing artifact, signal processing, convergence, partial sums, Wilbraham-Gibbs constant, uniform convergence.

历史背景

可微流形（geom）

可微分流形是一个局部类似于欧几里得空间的拓扑空间，允许微积分的应用。每个点都有一个与 [latex]\mathbb{R}^n[/latex] 的开放子集同构的邻域。这些局部坐标系被称为图，它们通过平稳过渡函数相互关联，形成了定义流形可微分结构的图集。

数字逻辑中的布尔代数

数字电子学基于布尔代数，这是一种由乔治·布尔提出的逻辑数学系统。它使用两个值，通常是0和1（或真和假），以及三种基本运算：与（AND）、或（OR）和非（NOT）。这些运算直接对应于构成所有数字电路基本单元的逻辑门。

同胚

同胚是指两个拓扑空间之间的连续函数，且该函数存在连续的逆函数。如果这样的函数存在，则称两个拓扑空间是同胚的。从拓扑学的角度来看，同胚空间是相同的。这个概念体现了物体可以被拉伸、弯曲或变形为另一个物体而不会撕裂或粘合的思想，例如将咖啡杯变成甜甜圈。

吉布斯现象

高斯-马尔可夫定理

该定理指出，在误差均值为零、不相关且方差恒定（同方差性）的线性回归模型中，普通最小二乘法 (OLS) 估计量是最佳线性无偏估计量 (BLUE)。“最佳”意味着它在所有回归系数的线性无偏估计量中方差最小，因此精度最高。

布劳威尔定点定理

该定理指出，对于映射紧凑凸集到自身的任何连续函数 [latex]f[/latex]，存在一个点 [latex]x_0[/latex]，使得 [latex]f(x_0) = x_0[/latex]。这个点称为定点。非正式地讲，如果把一个国家的地图揉成一团，然后放在这个国家的边界内，那么地图上总会有至少一个点在其对应的现实世界位置的正上方。

策梅洛-弗兰克尔集合论 (ZFC)

策梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel set theory，简称ZFC，其中ZFC包含选择公理）是当代数学的标准公理系统。它由一系列用一阶逻辑表达的公理组成，这些公理形式化了集合的性质。当今几乎所有数学定理都可以用ZFC来表述和证明。

1854

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1900

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1900

1903

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1924

准确度与精确度

准确度是指测量值与标准值或已知真值接近的程度。精密度是指两次或多次测量结果彼此接近的程度。一个测量系统可能精密但不准确，也可能准确但不精密，或者两者都不精确，或者两者都精确。在测量理论中，这两个概念是相互独立的。

黎曼几何

黎曼几何是微分几何的一个分支，研究黎曼流形——具有黎曼度量的光滑流形。该度量是切空间上内积的集合，其值随点而平滑变化。它允许定义局部几何概念，例如角度、曲线长度、表面积和体积，从而引出广义的曲率概念。

秩零定理

在线性代数中，秩-零度定理指出：对于任意有限维向量空间之间的线性映射 [latex]T: V \to W[/latex]，其定义域维数 [latex]V[/latex] 等于其秩（像的维数）与零度（核的维数）之和。其公式为：\dim(V) = \text{rank}(T) + \text{nullity}(T)。.

素数定理

素数定理描述了素数在整数中的渐近分布。它指出，质数计数函数 [latex]\pi(x)[/latex]（给出小于或等于 [latex]x[/latex] 的质数个数）在渐近上等价于 [latex]x / \ln(x)[/latex]。形式上，[latex]lim_{x \to \infty}\frac\{pi(x)}{x/\ln(x)} = 1[/latex]。这提供了素数和自然对数之间的基本联系。.

判定系数（R²）

表示模型拟合程度的统计量，代表因变量中可由自变量预测的方差比例。R² 为 1 表示完全拟合，0 表示没有线性关系。计算公式为 [latex]R^2 \equiv 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}[/latex], 其中 [latex]SS_{res}[/latex] 为残差平方和。.

弗雷德霍尔姆指数

弗雷德霍姆指数将秩-零度定理推广到巴拿赫空间等无限维空间。对于弗雷德霍姆算子 [latex]T： X → Y，其指标定义为：\text{ind}(T) = \dim(\ker(T)) - \dim(\text{coker}(T))其中余核维度衡量像空间与整个空间的距离。该指标在算子的小扰动下保持稳定的整数值。.

拓扑空间

拓扑空间是有序对 [latex]（X，\tau）[/latex]，其中 [latex]X[/latex] 是一个集合，[latex]\tau[/latex] 是 [latex]X[/latex] 的子集集合，称为开集，满足三个公理：1）空集 [latex]\emptyset[/latex] 和 [latex]X[/latex] 本身都在 [latex]\tau[/latex] 中。2) [latex]\tau[/latex] 中任意多个集合的联合也在 [latex]\tau[/latex] 中。3）[latex]\tau[/latex] 中任意有限个集合的交集也在 [latex]\tau[/latex] 中。