算术基本定理

一个实数是理性的当且仅当其十进制表示为周期性。这意味着该数字序列最终会无限重复一个有限的数字序列。这个重复部分称为循环小数。例如，[latex]1/3 = 0.333...[/latex]（循环小数部分为'3'），而[latex]3/7 = 0.428571428571...[/latex]（循环小数部分为'428571'）。有限小数是特殊情况，其循环小数部分为'0'。.

贝祖特定理是交点理论中的一个基本定理。它断言，只要在代数闭域上的投影面中工作，计算具有多重性的点，并包括平行渐近线相交的无穷远处的点，两条度数分别为 [latex]m[/latex] 和 [latex]n[/latex] 的平面代数曲线的交点数正好是 [latex]mn[/latex]。

代数基本定理指出，每个非常量单变量复系数多项式至少有一个复数根。这保证了复数域具有代数闭性，即无法用实数求解的多项式方程可用复数求解。 对于多项式 \(p(z) = a_n z^n + \dots + a_1 z + a_0\)，存在复数 \(z_0 \in \mathbb{C}\) 使得 \(p(z_0) = 0\)。.

正整数 [latex]n 的规范表示（或称标准形式）是其唯一的质因数分解，以质数幂的乘积形式表示，且质数按升序排列。对于任意大于 1 的整数 [latex]n，可表示为 [latex]n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}[/latex]，其中 [latex]p_1 < p_2 < \cdots < p_k[/latex] 为素数，指数 [latex]a_i[/latex] 为正整数。.

与柯西初值问题相关的偏微分方程的基本存在唯一性定理。该定理指出，如果偏微分方程和初始条件是“解析的”（可以用收敛幂级数表示），则在初始曲面的邻域中存在唯一解析解。它提供了局部存在性的保证，但并未解决全局行为或适定性问题。

对于素数 [latex]p[/latex]，p进数构成有理数的扩充，其拓扑结构与实数不同。 实数是按常规绝对值度量对有理数[latex]\mathbb{Q}[/latex]的完备化，而p进数则是按p进度量对有理数[latex]\mathbb{Q}[/latex]的完备化——其中若某个数能被[latex]p[/latex]的高次幂整除，则该数被视为"小数"。.

有理数是指任何能表示为分数或商[latex]p/q[/latex]的数，其中[latex]p[/latex]是整数，[latex]q[/latex]是非零整数。 所有有理数的集合记作\mathbb{Q}。这一基础概念将整数体系扩展至包含分数，从而能够表示整体的若干部分。.

偏微分方程（PDE）是在一个多变量函数的各个偏导数之间建立关系的方程。函数通常被称为未知数，而偏微分方程则描述了未知函数与其导数之间的关系。与涉及单变量函数的常微分方程 (ODE) 不同，偏微分方程是多维系统建模的基础。

一种求解一阶和双曲二阶偏微分方程 (PDE) 的技术。该方法将偏微分方程 (PDE) 简化为一系列沿着特定曲线（称为“特征”）的常微分方程 (ODE)。沿着这些曲线，PDE 会简化，从而可以通过对 ODE 组进行积分来求得解。该方法对于涉及传输和波传播的问题尤其有效。

代数基本定理的直接推论是：任何实系数非常系数多项式均可分解为线性因子与不可约二次因子的乘积，所有因子系数均为实数。线性因子对应实数根，而不可约二次因子则对应复共轭根对 [latex]a \pm bi[/latex]。.

超越数是指既非代数数（即不满足任何整系数或有理系数非零多项式方程的根）的实数或复数。 所有超越数都是无理数，但并非所有无理数都是超越数（例如√2是无理数但属于代数数，因为它是x² - 2 = 0的根）。.

尽管有理数集[latex]\mathbb{Q}[/latex]具有稠密性（即任意两个不同有理数之间都存在另一个有理数），但它仍是可数无限的。这意味着所有有理数都能与自然数集[latex]\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}[/latex]建立一一对应关系。 这一令人惊讶的结果表明，有理数集[latex]\mathbb{Q}[/latex]与自然数集[latex]\mathbb{N}[/latex]及整数集[latex]\mathbb{Z}[/latex]具有相同的基数。.

希尔伯特的零点定理（德语为 "零点定理"）在几何和代数之间建立了基本的对应关系。它指出，对于代数闭域 [latex]k[/latex]，如果多项式 [latex]p[/latex] 在理想 [latex]I[/latex] 的零集上消失，那么 [latex]p[/latex] 的某个幂必定属于 [latex]I[/latex]。形式上，[latex]I(V(I)) = \sqrt{I}[/latex]，即 [latex]I[/latex] 的根。

仿射变换是仿射空间中点的集合，其坐标是一组有限多项式的公共零点。对于多项式环 [latex]k[x_1, \dots, x_n][/latex] 中的一组多项式 [latex]S = \{f_1, \dots, f_k\}[/latex], 相应的仿射变换是 [latex]V(S) = \{x \in k^n | f(x) = 0 \text{ for all } f \in S\}[/latex].它是经典代数几何的核心研究对象。