コーシー・コワレフスキーの定理

代数学の基本定理によれば、複素係数を持つ定数でない一変数多項式はすべて少なくとも１つの複素根を持ちます。これにより、複素数の体は代数的に閉じていることが保証され、実数では解けない多項式方程式も複素数では解けるようになります。多項式 [latex]p(z) = a_n z^n + dots + a_1 z + a_0[/latex] に対して、[latex]p(z_0) = 0[/latex] となるような [latex]z_0 が mathbb{C}[/latex] に存在します。

この定理は、1より大きいすべての整数は素数であるか、素数の積として一意に表すことができる（因数の順序は問わない）ことを述べています。例えば、[latex]1200 = 2^4 times 3^1 times 5^2[/latex]です。この一意的な因数分解は数論の基礎であり、整数の基本的な乗法構造を提供します。

正の整数 n の標準表現、または標準形式は、素数を昇順に並べた素数のべき乗の積として表される、その整数の一意な素因数分解です。任意の整数 n > 1 に対して、n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} cdots p_k^{a_k} と表すことができます。ここで、p_1 < p_2 < cdots < p_k は素数であり、指数 a_i は正の整数です。

素数 [latex]p[/latex] に対して、p 進数は、実数とは位相的に異なる有理数の拡張を形成します。実数は通常の絶対値計量に関して [latex]mathbb{Q}[/latex] の完備化ですが、p 進数は p 進計量に関して [latex]mathbb{Q}[/latex] の完備化であり、数が [latex]p[/latex] の高次のべき乗で割り切れる場合、「小さい」数となります。

層コホモロジーは、現代代数幾何学において幾何空間の全体的な性質を研究するための中心的なツールです。空間 [latex]X[/latex] 上の層 [latex]mathcal{F}[/latex] に対して、コホモロジー群 [latex]H^i(X, mathcal{F})[/latex] は、次元が重要な不変量を与えるベクトル空間です。群 [latex]H^0[/latex] は全体的な切断を表し、[latex]i > 0[/latex] の高次の群 [latex]H^i[/latex] は、局所的な切断を全体的な切断につなぎ合わせる際の障害を測定します。

1階偏微分方程式および双曲型2階偏微分方程式（PDE）を解くための手法。この手法では、PDEを「特性曲線」と呼ばれる特定の曲線に沿った常微分方程式（ODE）の族に還元します。これらの曲線に沿ってPDEは簡略化され、ODE系を積分することで解を求めることができます。特に、輸送現象や波動伝播に関する問題に有効です。

代数学の基本定理の直接的な帰結として、実数係数を持つ定数でない多項式は、すべて実数係数を持つ線形因子と既約二次因子の積に因数分解できる。線形因子は実根に対応し、既約二次因子は複素共役根のペア[latex]a pm bi[/latex]に対応する。

超越数とは、代数的ではない実数または複素数のことです。つまり、整数（または有理数）係数を持つゼロでない多項式方程式の根ではない数です。すべての超越数は無理数ですが、すべての無理数が超越数であるとは限りません（例えば、[latex]sqrt{2}[/latex]は無理数ですが、[latex]x^2 - 2 = 0[/latex]の根なので代数的です）。

有理数の集合 [latex]mathbb{Q}[/latex] は、任意の異なる 2 つの有理数の間に別の有理数が存在するという稠密性を持つにもかかわらず、可算無限です。これは、すべての有理数を自然数 [latex]mathbb{N} = {1, 2, 3, ...}[/latex] と 1 対 1 で対応させることができることを意味します。この驚くべき結果は、[latex]mathbb{Q}[/latex] が [latex]mathbb{N}[/latex] および [latex]mathbb{Z}[/latex] と同じ濃度を持つことを示しています。

ヒルベルトの零点定理（ドイツ語で「零点定理」）は、幾何学と代数学の間に基本的な対応関係を確立する。この定理は、代数的に閉じた体[latex]k[/latex]において、多項式[latex]p[/latex]がイデアル[latex]I[/latex]の零点集合上でゼロになるならば、[latex]p[/latex]の何らかのべき乗が[latex]I[/latex]に属しなければならないと述べている。形式的には、[latex]I(V(I)) = sqrt{I}[/latex]、つまり[latex]I[/latex]の根基となる。

アフィン多様体とは、アフィン空間内の点の集合であり、その座標は有限個の多項式の共通零点である。多項式環 [latex]k[x_1, dots, x_n][/latex] 内の多項式の集合 [latex]S = {f_1, dots, f_k}[/latex] に対して、対応するアフィン多様体は [latex]V(S) = {x in k^n | f(x) = 0 text{ がすべての } f in S}[/latex] である。これは古典的な代数幾何学における中心的な研究対象である。