कोशी-कोवालेव्स्की प्रमेय

बीजगणित का मूलभूत प्रमेय यह बताता है कि जटिल गुणांकों वाले प्रत्येक गैर-स्थिर एकल-चर बहुपद का कम से कम एक जटिल मूल होता है। यह इस बात की गारंटी देता है कि जटिल संख्याओं का क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद है, जिसका अर्थ है कि वास्तविक संख्याओं में हल न किए जा सकने वाले बहुपद समीकरणों को जटिल संख्याओं में हल किया जा सकता है। एक बहुपद [latex]p(z) = a_n z^n + dots + a_1 z + a_0[/latex] के लिए, mathbb{C}[/latex] में एक [latex]z_0[/latex] मौजूद है जैसे कि [latex]p(z_0) = 0[/latex]।

यह प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ी प्रत्येक पूर्णांक संख्या या तो अभाज्य संख्या होती है या उसे गुणनखंडों के क्रम की परवाह किए बिना, विशिष्ट रूप से अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में निरूपित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, [latex]1200 = 2^4 times 3^1 times 5^2[/latex]। यह विशिष्ट गुणनखंडन संख्या सिद्धांत का एक आधारशिला है, जो पूर्णांकों के लिए एक मूलभूत गुणात्मक संरचना प्रदान करता है।

किसी धनात्मक पूर्णांक n का मानक निरूपण, या मानक रूप, उसका अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडन होता है, जिसे अभाज्य घातों के गुणनफल के रूप में लिखा जाता है, जिसमें अभाज्य संख्याएँ बढ़ते क्रम में होती हैं। किसी भी पूर्णांक n > 1 के लिए, इसे n = p₁₁₁₂₂₂₀ ...

किसी अभाज्य संख्या p के लिए, p-एडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं का एक विस्तार बनाती हैं जो वास्तविक संख्याओं से टोपोलॉजिकली भिन्न होती हैं। जहाँ वास्तविक संख्याएँ सामान्य निरपेक्ष मान मीट्रिक के संबंध में Q का पूर्णीकरण हैं, वहीं p-एडिक संख्याएँ p-एडिक मीट्रिक के संबंध में Q का पूर्णीकरण हैं, जहाँ संख्याएँ "छोटी" कहलाती हैं यदि वे p की उच्च घात से विभाज्य हों।

शीफ कोहोमोलॉगी आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति में ज्यामितीय स्थानों के वैश्विक गुणों के अध्ययन के लिए एक केंद्रीय उपकरण है। किसी स्थान X पर स्थित शीफ F के लिए, कोहोमोलॉगी समूह H^i(X, F) सदिश स्थान होते हैं जिनकी विमाएँ महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीयताएँ प्रदान करती हैं। समूह H^0 वैश्विक अनुभागों का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि i > 0 के लिए उच्च समूह H^i स्थानीय अनुभागों को एक वैश्विक अनुभाग में संयोजित करने में आने वाली बाधाओं को मापते हैं।

प्रथम-कोटि और अतिपरवलयिक द्वितीय-कोटि आंशिक अवकल समीकरणों (पीडीई) को हल करने की एक तकनीक। यह विधि एक पीडीई को विशिष्ट वक्रों (जिन्हें 'विशेषताएँ' कहा जाता है) के अनुदिश साधारण अवकल समीकरणों (ओडीई) के एक समूह में परिवर्तित करती है। इन वक्रों के अनुदिश, पीडीई सरल हो जाता है, जिससे ओडीई के समूह को समाकलित करके हल प्राप्त किया जा सकता है। यह विधि परिवहन और तरंग प्रसार से संबंधित समस्याओं के लिए विशेष रूप से उपयोगी है।

बीजगणित के मूलभूत प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम यह है कि वास्तविक गुणांकों वाले किसी भी गैर-स्थिर बहुपद को रैखिक गुणनखंडों और अविभाज्य द्विघात गुणनखंडों के गुणनफल में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें सभी के गुणांक वास्तविक होते हैं। रैखिक गुणनखंड वास्तविक मूलों के अनुरूप होते हैं, जबकि अविभाज्य द्विघात गुणनखंड जटिल संयुग्मी मूलों के युग्मों [latex]a pm bi[/latex] के अनुरूप होते हैं।

एक पारलौकिक संख्या एक वास्तविक या जटिल संख्या होती है जो बीजीय नहीं होती, जिसका अर्थ है कि यह पूर्णांक (या परिमेय) गुणांक वाले किसी भी गैर-शून्य बहुपद समीकरण का मूल नहीं होती। सभी पारलौकिक संख्याएँ अपरिमेय होती हैं, लेकिन सभी अपरिमेय संख्याएँ पारलौकिक नहीं होतीं (उदाहरण के लिए, [latex]√2[/latex] अपरिमेय है लेकिन बीजीय है, क्योंकि यह [latex]x^2 - 2 = 0[/latex] का मूल है)।

सघन होने के बावजूद, जिसका अर्थ है कि किन्हीं भी दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच एक और संख्या विद्यमान होती है, सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय [latex]mathbb{Q}[/latex] गणनीय रूप से अनंत है। इसका अर्थ यह है कि सभी परिमेय संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं [latex]mathbb{N} = {1, 2, 3, ...}[/latex] के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। यह आश्चर्यजनक परिणाम दर्शाता है कि [latex]mathbb{Q}[/latex] की कार्डिनैलिटी [latex]mathbb{N}[/latex] और [latex]mathbb{Z}[/latex] के समान है।

हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसैट्ज़ (जर्मन में "शून्य का प्रमेय") ज्यामिति और बीजगणित के बीच एक मूलभूत संबंध स्थापित करता है। यह बताता है कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k के लिए, यदि एक बहुपद p किसी आदर्श I के शून्य-सेट पर शून्य हो जाता है, तो p की कोई घात I से संबंधित होनी चाहिए। औपचारिक रूप से, I(V(I)) = √I, जो I का मूल है।

एक एफाइन वैरायटी, एफाइन स्पेस में स्थित उन बिंदुओं का समूह है जिनके निर्देशांक, परिमित बहुपदों के समूह के उभयनिष्ठ शून्य होते हैं। बहुपदों के समूह [latex]S = {f_1, dots, f_k}[/latex] के लिए, जो एक बहुपद वलय [latex]k[x_1, dots, x_n][/latex] में स्थित है, संगत एफाइन वैरायटी [latex]V(S) = {x in k^n | f(x) = 0 text{ for all } f in S}[/latex] है। यह शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन का एक प्रमुख विषय है।