Il Principio di Cavalieri

La dimostrazione diretta è un metodo per dimostrare la verità di un'affermazione data mediante una semplice combinazione di fatti consolidati, solitamente assiomi, definizioni e teoremi precedentemente dimostrati. Per dimostrare un'affermazione condizionale [latex]p rightarrow q[/latex], si assume che [latex]p[/latex] sia vera e si utilizzano le regole di inferenza per dimostrare che anche [latex]q[/latex] deve essere vera.

La dimostrazione per assurdo, o reductio ad absurdum, è una forma di dimostrazione indiretta. Essa stabilisce la verità di una proposizione mostrando che assumere la proposizione come falsa porta a una contraddizione logica. Per dimostrare una proposizione p, si assume la sua negazione, Δp, e si deduce una contraddizione, come q ∈ Δq, concludendo così che p deve essere vera.

Il teorema di Pitagora è una relazione fondamentale della geometria euclidea tra i tre lati di un triangolo rettangolo. Esso afferma che l'area del quadrato il cui lato è l'ipotenusa (il lato opposto all'angolo retto) è uguale alla somma delle aree dei quadrati degli altri due lati. La formula è espressa come [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex].

Il teorema di Pitagora fornisce la base per la formula della distanza in coordinate cartesiane. La distanza d tra due punti (x₁, y₁) e (x₂, y₂) su un piano è data da d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)². Questa formula è un'applicazione diretta del teorema a un triangolo rettangolo i cui cateti sono le differenze tra le coordinate x e y.

Si tratta di un problema storicamente notevole in matematica. La sua risoluzione negativa da parte di Leonhard Euler nel 1736 ha posto le basi della teoria dei grafi e ha prefigurato l'idea di topologia. Il problema chiedeva se i sette ponti della città di Königsberg potessero essere attraversati tutti in un solo viaggio senza tornare indietro, e se il viaggio terminasse sulla stessa terraferma da cui era partito.

Teorema fondamentale della topologia e della geometria secondo il quale, per qualsiasi poliedro convesso, il numero di vertici (V), spigoli (E) e facce (F) è legato dalla formula [latex]V - E + F = 2[/latex]. Questo valore, 2, è la caratteristica di Eulero di una sfera, che rivela una profonda proprietà topologica indipendente dalla forma specifica del poliedro.

Una terna pitagorica è composta da tre numeri interi positivi a, b e c, tali che [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex]. Un esempio ben noto è (3, 4, 5). La formula di Euclide è un metodo fondamentale per generare queste terne. Dati due numeri interi positivi qualsiasi m e n con [latex]m > n[/latex], la formula [latex]a = m^2 - n^2[/latex], [latex]b = 2mn[/latex], [latex]c = m^2 + n^2[/latex] genera una terna pitagorica.

I solidi platonici sono gli unici cinque poliedri regolari convessi: un poliedro regolare ha facce poligonali regolari congruenti e lo stesso numero di facce che si incontrano in ogni vertice. I cinque solidi sono il tetraedro (4 facce), il cubo (6 facce), l'ottaedro (8 facce), il dodecaedro (12 facce) e l'icosaedro (20 facce). La loro simmetria e le loro proprietà sono state studiate fin dall'antichità.

La radice quadrata di 2 è un numero irrazionale, ovvero non può essere espressa come rapporto tra due numeri interi p/q. La dimostrazione classica, spesso attribuita ai Pitagorici, è una dimostrazione per assurdo: presuppone che √2 = p/q ai minimi termini, il che porta alla conclusione che sia p che q debbano essere pari, contraddicendo l'ipotesi iniziale.

Il teorema di Tolomeo fornisce un'elegante dimostrazione geometrica per le formule di somma e differenza in trigonometria. Inscrivendo un quadrilatero in una circonferenza con un lato come diametro, le lunghezze dei lati possono essere espresse come seni e coseni degli angoli inscritti. Applicando direttamente il teorema [latex]AC cdot BD = AB cdot CD + BC cdot DA[/latex] si ottengono identità come [latex]sin(alpha + beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta[/latex].

Il sistema di coordinate cartesiane fornisce un modello algebrico per la geometria euclidea. Utilizza uno o più numeri, o coordinate, per determinare in modo univoco la posizione di un punto nello spazio. In un piano, vengono utilizzate due rette perpendicolari (gli assi x e y), consentendo di descrivere le forme geometriche mediante equazioni algebriche. Questa fusione di algebra e geometria è nota come geometria analitica.

L'induzione matematica è una tecnica utilizzata per dimostrare che una proprietà [latex]P(n)[/latex] vale per ogni numero naturale [latex]n[/latex]. Essa si articola in due fasi: il caso base, che dimostra la veridicità di [latex]P(0)[/latex] o [latex]P(1)[/latex], e la fase induttiva, che dimostra che se [latex]P(k)[/latex] è vera per qualche numero naturale [latex]k[/latex] (l'ipotesi induttiva), allora anche [latex]P(k+1)[/latex] è vera.

Equazione differenziale parziale lineare iperbolica del secondo ordine che regola la propagazione di vari tipi di onde. Nella sua forma più semplice, si scrive come [latex]\frac{parziale^2 u}{parziale t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex], dove [latex]u(\vec{x},t)[/latex] è l'ampiezza dell'onda, [latex]c[/latex] è la velocità dell'onda e [latex]\nabla^2[/latex] è l'operatore di Laplace. Modella fenomeni come le corde vibranti, le onde sonore e le onde luminose.

La caratteristica di Eulero è un invariante topologico, un numero che descrive la struttura o la forma di uno spazio topologico indipendentemente da come viene piegato. Per i poliedri, è definita dalla formula [latex]\chi = V - E + F[/latex], dove V, E e F sono rispettivamente il numero di vertici, spigoli e facce. Per una sfera, [latex]\chi = 2[/latex], mentre per un toro, [latex]\chi = 0[/latex].