Accuratezza vs. precisione

Un approccio standard per approssimare le soluzioni di sistemi sovradeterminati trovando i parametri del modello che minimizzano la somma delle differenze al quadrato tra i valori osservati e quelli previsti. Questa somma è nota come somma dei residui quadrati (SSR). L'obiettivo è trovare i parametri [latex]\hat{\beta}[/latex] che minimizzano la funzione [latex]S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex].

Il Teorema Egregium (in latino "Teorema notevole") afferma che la curvatura gaussiana di una superficie è una proprietà intrinseca. Ciò significa che dipende solo dal modo in cui le distanze sono misurate sulla superficie stessa, non da come la superficie è inserita nello spazio tridimensionale. Un foglio di carta piatto può essere arrotolato in un cilindro ma non in una sfera senza allungarsi.

Il teorema di Gauss-Bonnet collega la geometria di una superficie bidimensionale compatta alla sua topologia. Esso afferma che l'integrale della curvatura gaussiana [latex]K[/latex] sull'intera superficie [latex]M[/latex] è uguale a [latex]2\pi[/latex] per la caratteristica di Eulero [latex]\chi(M)[/latex] della superficie. La formula è [latex]int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

La geometria riemanniana è la branca della geometria differenziale che studia le varietà riemanniane, ovvero varietà lisce dotate di una metrica riemanniana. Questa metrica è un insieme di prodotti scalari sugli spazi tangenti, che variano in modo uniforme da punto a punto. Permette la definizione di nozioni geometriche locali come angolo, lunghezza delle curve, area superficiale e volume, portando a una nozione generalizzata di curvatura.

Un omeomorfismo è una funzione continua tra due spazi topologici che ha una funzione inversa continua. Due spazi topologici sono detti omeomorfi se esiste una funzione di questo tipo. Dal punto di vista topologico, gli spazi omeomorfi sono identici. Questo concetto cattura l'idea che un oggetto possa essere allungato, piegato o deformato in un altro senza strappi o incollature, come una tazza di caffè in una ciambella.

Statistica che indica la bontà di adattamento di un modello e che rappresenta la proporzione della varianza della variabile dipendente che è prevedibile dalla/e variabile/i indipendente/i. Un R² pari a 1 indica un adattamento perfetto, mentre 0 indica l'assenza di una relazione lineare. Si calcola come [latex]R^2 \equiv 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}[/latex], dove [latex]SS_{res}[/latex] è la somma dei quadrati residui.

Equazione differenziale parziale ellittica lineare del secondo ordine che descrive sistemi in condizioni di equilibrio o di stato stazionario. Si scrive come [latex]nabla^2 u = 0[/latex] o [latex]Delta u = 0[/latex], dove [latex]nabla^2[/latex] (o [latex]Delta[/latex]) è l'operatore di Laplace. Le soluzioni, chiamate funzioni armoniche, sono le funzioni più uniformi possibili e rappresentano i potenziali in campi come l'elettrostatica, la gravitazione e il flusso dei fluidi.

Equazione differenziale parziale parabolica lineare fondamentale del secondo ordine che descrive la distribuzione del calore o altri processi di diffusione. La sua forma canonica è [latex]\frac{parziale u}{parziale t} = \alpha \nabla^2 u[/latex], dove [latex]u(\vec{x},t)[/latex] è la temperatura, [latex]t[/latex] è il tempo e [latex]\alpha[/latex] è la diffusività termica. Le soluzioni modellano l'evoluzione della distribuzione iniziale della temperatura, attenuando le irregolarità nel tempo e avvicinandosi a uno stato stazionario.

Una soluzione fondamentale di un operatore differenziale parziale lineare [latex]L[/latex] è una soluzione dell'equazione [latex]Lu = delta(x)[/latex], dove [latex]delta(x)[/latex] è la funzione delta di Dirac. Essa rappresenta la risposta del sistema a una sorgente puntiforme o a un impulso. Una volta nota, la soluzione dell'equazione disomogenea [latex]Lu = f(x)[/latex] può essere trovata mediante convoluzione: [latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], dove [latex]G[/latex] è la soluzione fondamentale.

Le leggi di De Morgan sono una coppia di regole di trasformazione dell'algebra booleana, fondamentali per la progettazione di circuiti digitali. La prima legge afferma che la negazione di una congiunzione è la disgiunzione delle negazioni: [latex]\neg(P ´land Q) ´iff (´neg P) ´lor (´neg Q)[/latex]. La seconda afferma che la negazione di una disgiunzione è la congiunzione delle negazioni: [latex]\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)[/latex].

Un manifesto differenziabile è uno spazio topologico localmente simile allo spazio euclideo, che consente di applicare il calcolo. Ogni punto ha un vicinato che è omeomorfo a un sottoinsieme aperto di [latex]\mathbb{R}^n[/latex]. Questi sistemi di coordinate locali, detti grafici, sono correlati da funzioni di transizione lisce, che formano un atlante che definisce la struttura differenziabile del manifold.

L'elettronica digitale si basa sull'algebra booleana, un sistema matematico di logica introdotto da George Boole. Utilizza due valori, tipicamente 0 e 1 (o falso e vero), e tre operazioni di base: AND (congiunzione), OR (disgiunzione) e NOT (negazione). Queste operazioni corrispondono direttamente alle porte logiche che costituiscono gli elementi costitutivi di tutti i circuiti digitali.

Il teorema dei numeri primi descrive la distribuzione asintotica dei numeri primi tra i numeri interi. Esso afferma che la funzione di conteggio dei primi [latex]\pi(x)[/latex], che dà il numero di primi minori o uguali a [latex]x[/latex], è asintoticamente equivalente a [latex]x / \ln(x)[/latex]. Formalmente, [latex]lim_{x ´a ´infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln(x)} = 1[/latex]. Questo fornisce un legame fondamentale tra i primi e il logaritmo naturale.

Questo teorema afferma che per qualsiasi funzione continua [latex]f[/latex] che mappa un insieme convesso compatto su se stesso, esiste un punto [latex]x_0[/latex] tale che [latex]f(x_0) = x_0[/latex]. Questo punto è detto punto fisso. Informalmente, se si prende la mappa di un paese, la si accartoccia e la si posiziona all'interno dei confini del paese, ci sarà sempre almeno un punto sulla mappa direttamente sopra la corrispondente posizione nel mondo reale.