प्रोग्रामिंग भाषा मानक

किसी फूरियर श्रृंखला के फलन के मान पर अभिसरित होने के लिए, फलन को एक अवधि में डिरिचलेट शर्तों को पूरा करना चाहिए। ये शर्तें इस प्रकार हैं: (1) फलन पूर्णतः समाकलनीय होना चाहिए, (2) इसमें परिमित संख्या में चरम बिंदु (अधिकतम और न्यूनतम) होने चाहिए, और (3) इसमें परिमित संख्या में परिमित असंतुलन होने चाहिए।

डी मॉर्गन के नियम बूलियन बीजगणित में रूपांतरण नियमों का एक युग्म है जो डिजिटल सर्किट डिज़ाइन के लिए मूलभूत है। पहला नियम कहता है कि संयोजन का निषेध निषेधों का वियोजन होता है: \(\neg(P \land Q) \iff (\neg P) \lor (\neg Q)\)। दूसरा नियम कहता है कि वियोजन का निषेध निषेधों का संयोजन होता है: \(\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)\)।

अवकलनीय मैनिफोल्ड एक स्थलीय स्थान है जो स्थानीय रूप से यूक्लिडियन स्थान के समान होता है, जिससे कैलकुलस का अनुप्रयोग संभव हो पाता है। प्रत्येक बिंदु का एक ऐसा पड़ोस होता है जो \(\mathbb{R}^n\) के एक खुले उपसमुच्चय के समरूप होता है। ये स्थानीय निर्देशांक प्रणालियाँ, जिन्हें चार्ट कहा जाता है, सुगम संक्रमण फलनों द्वारा संबंधित होती हैं, जो एक एटलस का निर्माण करती हैं और मैनिफोल्ड की अवकलनीय संरचना को परिभाषित करती हैं।

डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स, जॉर्ज बूले द्वारा प्रतिपादित गणितीय तर्क प्रणाली, बूलियन बीजगणित पर आधारित है। इसमें आमतौर पर दो मान, 0 और 1 (या असत्य और सत्य), और तीन मूलभूत संक्रियाएँ उपयोग की जाती हैं: AND (संयोजन), OR (वियोजन), और NOT (निषेध)। ये संक्रियाएँ सीधे उन लॉजिक गेट्स से संबंधित होती हैं जो सभी डिजिटल परिपथों के मूलभूत घटक होते हैं।

होमियोमॉर्फिज्म दो टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक सतत फलन होता है जिसका एक सतत व्युत्क्रम फलन भी होता है। दो टोपोलॉजिकल स्पेस को होमियोमॉर्फिक कहा जाता है यदि ऐसा फलन मौजूद हो। टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से, होमियोमॉर्फिक स्पेस एक समान होते हैं। यह अवधारणा इस विचार को समाहित करती है कि किसी वस्तु को बिना फाड़े या चिपकाए खींचा, मोड़ा या विकृत किया जा सकता है, जैसे कॉफी मग को डोनट में बदलना।

गिब्स घटना, जंप असंतुलन पर फूरियर श्रृंखला के व्यवहार का वर्णन करती है। श्रृंखला के आंशिक योग जंप के पास एक अतिवृद्धि दर्शाते हैं, जो अधिक पद जोड़ने पर भी गायब नहीं होती। यह अतिवृद्धि श्रृंखला में पदों की संख्या की परवाह किए बिना, जंप की ऊँचाई के लगभग 9% के स्थिर मान पर अभिसरित होती है।

यह प्रमेय बताता है कि एक रैखिक प्रतिगमन मॉडल में, जहाँ त्रुटियों का माध्य शून्य होता है, वे असंबंधित होती हैं और उनका प्रसरण स्थिर होता है (समरूपता), साधारण न्यूनतम वर्ग (ओएलएस) अनुमानक सर्वश्रेष्ठ रैखिक निष्पक्ष अनुमानक (ब्लू) होता है। 'सर्वश्रेष्ठ' का अर्थ है कि प्रतिगमन गुणांकों के सभी रैखिक निष्पक्ष अनुमानकों में इसका प्रसरण न्यूनतम होता है, जिससे यह सबसे सटीक होता है।

एक रेखीय आंशिक अवकलन ऑपरेटर \(L\) का मूलभूत हल समीकरण \(Lu = delta(x)\) का हल होता है, जहाँ \(delta(x)\) डिराक डेल्टा फलन है। यह किसी बिंदु स्रोत या आवेग के प्रति प्रणाली की प्रतिक्रिया को दर्शाता है। एक बार ज्ञात हो जाने पर, विषम समीकरण \(Lu = f(x)\) का हल कनवोल्यूशन द्वारा ज्ञात किया जा सकता है: \(u(x) = (G * f)(x)\), जहाँ \(G\) मूलभूत हल है।

गॉस-बोनट प्रमेय एक सघन द्वि-आयामी सतह की ज्यामिति को उसकी टोपोलॉजी से जोड़ता है। यह बताता है कि संपूर्ण सतह (M) पर गॉसियन वक्रता (K) का समाकलन सतह के यूलर अभिलक्षण (chi(M)) के 2π गुना के बराबर होता है। सूत्र है: (√M = K, dA = 2πchi(M))।

परिशुद्धता से तात्पर्य मापे गए मान का मानक या ज्ञात वास्तविक मान के निकट होने से है। परिशुद्धता से तात्पर्य दो या दो से अधिक मापों के एक दूसरे के निकट होने से है। एक मापन प्रणाली परिशुद्ध हो सकती है लेकिन परिशुद्ध नहीं, परिशुद्ध हो सकती है लेकिन परिशुद्ध नहीं, न तो परिशुद्ध हो सकती है और न ही परिशुद्ध, या दोनों हो सकती हैं। मापन सिद्धांत में ये दोनों अवधारणाएँ एक दूसरे से स्वतंत्र हैं।

रीमैनियन ज्यामिति, अवकल ज्यामिति की वह शाखा है जो रीमैनियन मैनिफोल्ड्स का अध्ययन करती है—ये चिकने मैनिफोल्ड्स होते हैं जिनमें रीमैनियन मीट्रिक होता है। यह मीट्रिक स्पर्शरेखा क्षेत्रों पर आंतरिक गुणनफलों का एक संग्रह है, जो एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक सुचारू रूप से बदलता रहता है। यह कोण, वक्रों की लंबाई, पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन जैसी स्थानीय ज्यामितीय अवधारणाओं को परिभाषित करने की अनुमति देता है, जिससे वक्रता की एक सामान्यीकृत अवधारणा प्राप्त होती है।

रेखीय बीजगणित में, रैंक-शून्यता प्रमेय यह बताता है कि परिमित-आयामी सदिश स्थानों के बीच किसी भी रेखीय मानचित्र \(T: V \to W\) के लिए, उसके डोमेन \(V\) का आयाम उसकी रैंक (उसकी छवि का आयाम) और उसकी शून्यता (उसके कर्नेल का आयाम) का योग होता है। सूत्र है \(\dim(V) = \text{rank}(T) + \text{nullity}(T)\)।

अभाज्य संख्या प्रमेय पूर्णांकों के बीच अभाज्य संख्याओं के अनंत वितरण का वर्णन करता है। यह बताता है कि अभाज्य संख्याओं की गणना करने वाला फलन \(\pi(x)\), जो \(x\) से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या देता है, अनंत रूप से \(x / \ln(x)\) के समतुल्य है। औपचारिक रूप से, \(\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln(x)} = 1\)। यह अभाज्य संख्याओं और प्राकृतिक लघुगणक के बीच एक मूलभूत संबंध स्थापित करता है।

एक सांख्यिकी जो मॉडल की उपयुक्तता को दर्शाती है, यह आश्रित चर में भिन्नता के उस अनुपात को दर्शाती है जिसे स्वतंत्र चर से अनुमानित किया जा सकता है। R² का मान 1 होने पर पूर्ण उपयुक्तता का संकेत मिलता है, जबकि 0 होने पर कोई रैखिक संबंध नहीं होता है। इसकी गणना \(R² ≠ 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}\) सूत्र से की जाती है, जहाँ \(SS_{res}\) अवशिष्ट वर्गों का योग है।

फ्रेडहोम सूचकांक, रैंक-शून्यता प्रमेय को बानाच स्पेस जैसे अनंत-आयामी स्पेस तक विस्तारित करता है। फ्रेडहोम ऑपरेटर \(T: X \to Y\) के लिए, इसका सूचकांक \(\text{ind}(T) = \dim(\ker(T)) - \dim(\text{coker}(T))\) के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ कोकर्नेल का आयाम यह मापता है कि छवि संपूर्ण स्पेस से कितनी दूर है। ऑपरेटर में छोटे-मोटे बदलावों के बावजूद यह सूचकांक एक स्थिर पूर्णांक मान होता है।