मूलभूत समाधान (ग्रीन का फलन)

अतिनिर्धारित प्रणालियों के समाधानों का अनुमान लगाने के लिए एक मानक दृष्टिकोण यह है कि मॉडल पैरामीटर ज्ञात किए जाएं जो प्रेक्षित और अनुमानित मानों के बीच वर्ग अंतर के योग को न्यूनतम करते हैं। इस योग को वर्ग अवशेषों का योग (SSR) कहा जाता है। लक्ष्य उन पैरामीटरों [latex]hat{beta}[/latex] को ज्ञात करना है जो फलन [latex]S(beta) = sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T beta)^2[/latex] को न्यूनतम करते हैं।

यह एक मूलभूत द्वितीय-कोटि रैखिक परवलयिक आंशिक अवकल समीकरण है जो ऊष्मा वितरण या अन्य विसरण प्रक्रियाओं का वर्णन करता है। इसका मानक रूप [latex]frac{partial u}{partial t} = alpha nabla^2 u[/latex] है, जहाँ [latex]u(vec{x},t)[/latex] तापमान है, [latex]t[/latex] समय है, और [latex]alpha[/latex] तापीय विसरणशीलता है। इसके हल यह दर्शाते हैं कि प्रारंभिक तापमान वितरण समय के साथ कैसे विकसित होता है, अनियमितताओं को कम करता है और स्थिर अवस्था की ओर बढ़ता है।

आवर्तकाल P वाले फलन s(x) की फूरियर श्रृंखला के गुणांकों की गणना समाकलन सूत्रों का उपयोग करके की जाती है। DC घटक a₀ = 2P₀ = √P s(x) , dx है। कोसाइन गुणांक a₁ = 2P₀ = √P s(x) cos(2πnxP) , dx हैं, तथा साइन गुणांक b₁ = 2P₀ = √P s(x) sin(2πnxP) , dx हैं, जहाँ n ≥ 1 है।

गॉस-बोनट प्रमेय एक संकुचित द्वि-आयामी सतह की ज्यामिति को उसकी टोपोलॉजी से जोड़ता है। यह बताता है कि संपूर्ण सतह M पर गॉसियन वक्रता K का समाकलन सतह के यूलर अभिलक्षणिका chi(M) के 2π गुना के बराबर होता है। सूत्र है: ∫M K dA = 2π chi(M)

परिशुद्धता से तात्पर्य मापे गए मान का मानक या ज्ञात वास्तविक मान के निकट होने से है। परिशुद्धता से तात्पर्य दो या दो से अधिक मापों के एक दूसरे के निकट होने से है। एक मापन प्रणाली परिशुद्ध हो सकती है लेकिन परिशुद्ध नहीं, परिशुद्ध हो सकती है लेकिन परिशुद्ध नहीं, न तो परिशुद्ध हो सकती है और न ही परिशुद्ध, या दोनों हो सकती हैं। मापन सिद्धांत में ये दोनों अवधारणाएँ एक दूसरे से स्वतंत्र हैं।

रीमैनियन ज्यामिति, अवकल ज्यामिति की वह शाखा है जो रीमैनियन मैनिफोल्ड्स का अध्ययन करती है—ये चिकने मैनिफोल्ड्स होते हैं जिनमें रीमैनियन मीट्रिक होता है। यह मीट्रिक स्पर्शरेखा क्षेत्रों पर आंतरिक गुणनफलों का एक संग्रह है, जो एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक सुचारू रूप से बदलता रहता है। यह कोण, वक्रों की लंबाई, पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन जैसी स्थानीय ज्यामितीय अवधारणाओं को परिभाषित करने की अनुमति देता है, जिससे वक्रता की एक सामान्यीकृत अवधारणा प्राप्त होती है।

पारसेवल प्रमेय किसी सिग्नल की कुल ऊर्जा (एक आवर्तकाल में उसके वर्ग का समाकलन) को उसके फूरियर श्रृंखला घटकों की वर्ग ऊर्जाओं के योग से संबंधित करता है। आवर्तकाल P वाले फलन s(x) के लिए, प्रमेय कहता है: ∫P |s(x)|² , dx = ∫n=-∞ |c₁₂|², जहाँ c₁₂ जटिल फूरियर गुणांक हैं।

बेयसियन अनुमान एक सांख्यिकीय विधि है जिसमें बेयस प्रमेय का उपयोग परिकल्पना की प्रायिकता को अद्यतन करने के लिए किया जाता है, जैसे-जैसे अधिक साक्ष्य या जानकारी उपलब्ध होती है। यह बेयसियन सांख्यिकी का एक केंद्रीय सिद्धांत है। मूल विचार इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: पश्च प्रायिकता, पूर्व प्रायिकता और संभावना के गुणनफल के समानुपाती होती है, [latex]p(theta|D) propto p(D|theta)p(theta)[/latex], जहाँ [latex]theta[/latex] पैरामीटर है और D डेटा है।

फूरियर श्रृंखला किसी भी आवधिक फलन या संकेत को सरल दोलनशील फलनों, अर्थात् साइन और कोसाइन के योग में विघटित करती है। आवर्तकाल P वाले फलन s(x) के लिए, श्रृंखला निम्न प्रकार से दी जाती है: s(x) → a₀/2 + √n₁₈[a₁ cos(2πnx) + b₁ sin(2πnx)]। यहाँ a₁ और b₁ फूरियर गुणांक हैं।

थियोरेमा एग्रेगियम (लैटिन में "उल्लेखनीय प्रमेय") कहता है कि किसी सतह की गाउसियन वक्रता एक आंतरिक गुण है। इसका अर्थ है कि यह केवल इस बात पर निर्भर करता है कि सतह पर दूरियों को कैसे मापा जाता है, न कि इस बात पर कि सतह त्रि-आयामी अंतरिक्ष में कैसे स्थित है। कागज की एक सपाट शीट को बिना खींचे बेलन में मोड़ा जा सकता है, लेकिन गोले में नहीं।

किसी फूरियर श्रृंखला के फलन के मान पर अभिसरित होने के लिए, फलन को एक अवधि में डिरिचलेट शर्तों को पूरा करना चाहिए। ये शर्तें इस प्रकार हैं: (1) फलन पूर्णतः समाकलनीय होना चाहिए, (2) इसमें परिमित संख्या में चरम बिंदु (अधिकतम और न्यूनतम) होने चाहिए, और (3) इसमें परिमित संख्या में परिमित असंतुलन होने चाहिए।

डी मॉर्गन के नियम बूलियन बीजगणित में रूपांतरण नियमों का एक युग्म है जो डिजिटल सर्किट डिज़ाइन के लिए मूलभूत है। पहला नियम कहता है कि संयोजन का निषेध निषेधों का वियोजन होता है: [latex]neg(P land Q) iff (neg P) lor (neg Q)[/latex]। दूसरा नियम कहता है कि वियोजन का निषेध निषेधों का संयोजन होता है: [latex]neg(P lor Q) iff (neg P) land (neg Q)[/latex]।

अवकलनीय मैनिफोल्ड एक स्थलीय स्थान है जो स्थानीय रूप से यूक्लिडियन स्थान के समान होता है, जिससे कैलकुलस का अनुप्रयोग संभव हो पाता है। प्रत्येक बिंदु का एक ऐसा पड़ोस होता है जो [latex]mathbb{R}^n[/latex] के एक खुले उपसमुच्चय के समरूप होता है। ये स्थानीय निर्देशांक प्रणालियाँ, जिन्हें चार्ट कहा जाता है, सुगम संक्रमण फलनों द्वारा संबंधित होती हैं, जो एक एटलस का निर्माण करती हैं और मैनिफोल्ड की अवकलनीय संरचना को परिभाषित करती हैं।

डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स, जॉर्ज बूले द्वारा प्रतिपादित गणितीय तर्क प्रणाली, बूलियन बीजगणित पर आधारित है। इसमें आमतौर पर दो मान, 0 और 1 (या असत्य और सत्य), और तीन मूलभूत संक्रियाएँ उपयोग की जाती हैं: AND (संयोजन), OR (वियोजन), और NOT (निषेध)। ये संक्रियाएँ सीधे उन लॉजिक गेट्स से संबंधित होती हैं जो सभी डिजिटल परिपथों के मूलभूत घटक होते हैं।