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ब्राउवर स्थिर-बिंदु प्रमेय

1911

L. E. J. Brouwer

(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)

यह प्रमेय बताता है कि किसी भी सतत फलन [latex]f[/latex] के लिए जो एक संकुचित उत्तल समुच्चय को स्वयं पर मैप करता है, एक बिंदु [latex]x_0[/latex] मौजूद होता है, जिसके लिए [latex]f(x_0) = x_0[/latex] होता है। इस बिंदु को स्थिर बिंदु कहा जाता है। सरल शब्दों में, यदि आप किसी देश का नक्शा लें, उसे मोड़ें और देश की सीमाओं के भीतर रखें, तो नक्शे पर हमेशा कम से कम एक बिंदु ऐसा होगा जो उसके वास्तविक स्थान के ठीक ऊपर होगा।

ब्राउवर स्थिर-बिंदु प्रमेय स्थिर-बिंदु सिद्धांत का एक आधारशिला है और गणित के कई क्षेत्रों में इसके गहन निहितार्थ हैं। यह प्रमेय किसी भी सतत फलन [latex]f: D^n to D^n[/latex] पर लागू होता है, जहाँ [latex]D^n[/latex] एक बंद n-आयामी इकाई गेंद है। इसका प्रमाण गैर-रचनात्मक है; यह एक स्थिर बिंदु के अस्तित्व की गारंटी देता है, लेकिन इसे खोजने की विधि प्रदान नहीं करता है। [latex]n=1[/latex] के लिए प्रमाण मध्यवर्ती मान प्रमेय का एक सरल परिणाम है। उच्च आयामों के लिए, प्रमाण अधिक जटिल है और आमतौर पर बीजगणितीय टोपोलॉजी के उपकरणों पर निर्भर करता है, जैसे कि समरूपता या मानचित्र की डिग्री की अवधारणा। एक सामान्य प्रमाण रणनीति प्रत्याकर्षण तर्क का उपयोग करती है। यह विरोधाभास के लिए यह मान लेता है कि एक सतत फलन [latex]f: D^n to D^n[/latex] का कोई स्थिर बिंदु नहीं है। इसके बाद डिस्क से उसके सीमावर्ती गोले तक एक सतत फलन (रिट्रैक्शन) [latex]r: D^n to S^{n-1}[/latex] का निर्माण किया जा सकता है, जिसे असंभव सिद्ध किया जा सकता है। इस प्रमेय की शक्ति इसकी व्यापकता में निहित है; इसके लिए केवल फलन की निरंतरता और डोमेन की सघनता और उत्तलता की आवश्यकता होती है, जिससे यह उन समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला पर लागू होता है जहां समाधान या संतुलन अवस्था के अस्तित्व को सिद्ध करने की आवश्यकता होती है।

एल्गोरिदम, निरंतर सुधार, नियंत्रण प्रणालियाँ, डिज़ाइन थिंकिंग, गणित, प्रक्रिया अनुकूलन, सांख्यिकीय विश्लेषण, सिस्टम मॉडलिंग भाषा (SysML)

UNESCO Nomenclature: 1209

टोपोलॉजी

Type

सार प्रणाली

व्यवधान

संतोषजनक

उपयोग

व्यापक उपयोग

शगुन

बोल्ज़ानो और कॉची द्वारा प्रतिपादित मध्यवर्ती मान प्रमेय
पोइंकेयर और बोहल द्वारा अस्तित्व प्रमेयों पर किया गया कार्य
हेनरी पोइंकेयर द्वारा बीजगणितीय टोपोलॉजी का विकास
जैक्स हैडमार्ड का संबंधित समस्याओं पर किया गया कार्य

आवेदन

खेल सिद्धांत (नैश संतुलन के अस्तित्व को सिद्ध करना)
अर्थशास्त्र (सामान्य संतुलन सिद्धांत)
कंप्यूटर ग्राफिक्स (वस्तु रूपांतरणों की गणना)
संख्यात्मक विश्लेषण (समीकरणों के मूल ज्ञात करना)
नियंत्रण सिद्धांत

पेटेंट:

संभावित नवाचार विचार

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संबंधित विषय: निश्चित बिंदु प्रमेय, ब्रौवर, सतत फलन, सघन समुच्चय, उत्तल समुच्चय, नैश संतुलन, खेल सिद्धांत, बीजगणितीय टोपोलॉजी।

ऐतिहासिक संदर्भ

एक गणितज्ञ का कार्यक्षेत्र जो स्थलीय आरेखों और विरूपण उदाहरणों के साथ समरूपता को प्रदर्शित करता है।

होमियोमॉर्फिज्म

होमियोमॉर्फिज्म दो टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक सतत फलन होता है जिसका एक सतत व्युत्क्रम फलन भी होता है। दो टोपोलॉजिकल स्पेस को होमियोमॉर्फिक कहा जाता है यदि ऐसा फलन मौजूद हो। टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से, होमियोमॉर्फिक स्पेस एक समान होते हैं। यह अवधारणा इस विचार को समाहित करती है कि किसी वस्तु को बिना फाड़े या चिपकाए खींचा, मोड़ा या विकृत किया जा सकता है, जैसे कॉफी मग को डोनट में बदलना।

सिग्नल प्रोसेसिंग प्रयोगशाला असंतुलन बिंदुओं पर फूरियर श्रृंखला के व्यवहार का विश्लेषण कर रही है।

गिब्स घटना

गिब्स घटना, जंप असंतुलन पर फूरियर श्रृंखला के व्यवहार का वर्णन करती है। श्रृंखला के आंशिक योग जंप के पास एक अतिवृद्धि दर्शाते हैं, जो अधिक पद जोड़ने पर भी गायब नहीं होती। यह अतिवृद्धि श्रृंखला में पदों की संख्या की परवाह किए बिना, जंप की ऊँचाई के लगभग 9% के स्थिर मान पर अभिसरित होती है।

गॉस-मार्कोव प्रमेय

यह प्रमेय बताता है कि एक रैखिक प्रतिगमन मॉडल में, जहाँ त्रुटियों का माध्य शून्य होता है, वे असंबंधित होती हैं और उनका प्रसरण स्थिर होता है (समरूपता), साधारण न्यूनतम वर्ग (ओएलएस) अनुमानक सर्वश्रेष्ठ रैखिक निष्पक्ष अनुमानक (ब्लू) होता है। 'सर्वश्रेष्ठ' का अर्थ है कि प्रतिगमन गुणांकों के सभी रैखिक निष्पक्ष अनुमानकों में इसका प्रसरण न्यूनतम होता है, जिससे यह सबसे सटीक होता है।

ब्राउवर स्थिर-बिंदु प्रमेय

Mathematics office showcasing Zermelo–Fraenkel set theory discussions.

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी (ZFC)

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत, जिसे आमतौर पर ZFC (चयन के स्वयंसिद्ध के साथ) के रूप में संक्षिप्त किया जाता है, समकालीन गणित के लिए मानक स्वयंसिद्ध प्रणाली है। इसमें प्रथम-कोटि तर्क में व्यक्त स्वयंसिद्धों का एक संग्रह होता है, जो सेटों के गुणों को औपचारिक रूप देता है। आज उपयोग में आने वाले लगभग सभी गणितीय प्रमेयों को ZFC के भीतर सूत्रबद्ध और सिद्ध किया जा सकता है।

Statistician analyzing data in a 1920s office, focusing on variance partitioning.

विचरण का विभाजन (ANOVA)

विचरण विश्लेषण (ANOVA) एक सांख्यिकीय विधि है जो डेटा सेट में देखी गई कुल परिवर्तनशीलता को विभिन्न स्रोतों से उत्पन्न घटकों में विभाजित करती है। इसका मूल विचार विभिन्न समूहों के माध्यों के बीच के विचरण की तुलना उन समूहों के भीतर के विचरण से करना है। यदि समूहों के बीच का विचरण काफी अधिक है, तो यह दर्शाता है कि समूहों के माध्य वास्तव में भिन्न हैं।

संख्यात्मक विश्लेषण में CFL स्थिति का प्रदर्शन करने वाला कम्प्यूटेशनल फ्लूइड डायनामिक्स सिमुलेशन वर्कस्टेशन।.

कूरेंट-फ्रेडरिक-लेवी स्थिति

कौरेंट-फ्रेडरिक्स-लेवी (सीएफएल) शर्त, स्पष्ट समय-एकीकरण योजनाओं का उपयोग करके अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरणों के संख्यात्मक समाधानों के लिए एक आवश्यक स्थिरता मानदंड है। यह निर्धारित करता है कि समय चरण का आकार इतना छोटा होना चाहिए कि सूचना प्रति समय चरण एक स्थानिक ग्रिड सेल से आगे न बढ़े। 1D मामले के लिए, [latex]C = u frac{Delta t}{Delta x} le C_{max}[/latex], संख्यात्मक स्थिरता सुनिश्चित करता है।

1895

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1900

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1930

रैंक-शून्यता प्रमेय

रेखीय बीजगणित में, रैंक-शून्यता प्रमेय यह बताता है कि परिमित-आयामी सदिश स्थानों के बीच किसी भी रेखीय मानचित्र [latex]T: V to W[/latex] के लिए, उसके डोमेन [latex]V[/latex] का आयाम उसकी रैंक (उसकी छवि का आयाम) और उसकी शून्यता (उसके कर्नेल का आयाम) का योग होता है। सूत्र है [latex]dim(V) = text{rank}(T) + text{nullity}(T)[/latex]।

गणित के कागजात और अभाज्य संख्या सिद्धांत से संबंधित एक प्राचीन कैलकुलेटर से सुसज्जित एक पुराना कार्यालय।

अभाज्य संख्या प्रमेय

अभाज्य संख्या प्रमेय पूर्णांकों के बीच अभाज्य संख्याओं के स्पर्शोन्मुख वितरण का वर्णन करता है। यह बताता है कि अभाज्य संख्याओं की गणना करने वाला फलन [latex]pi(x)[/latex], जो [latex]x[/latex] से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या देता है, स्पर्शोन्मुख रूप से [latex]x / ln(x)[/latex] के समतुल्य है। औपचारिक रूप से, [latex]lim_{x to infty} frac{pi(x)}{x/ln(x)} = 1[/latex]। यह अभाज्य संख्याओं और प्राकृतिक लघुगणक के बीच एक मूलभूत संबंध स्थापित करता है।

एक सांख्यिकीविद् कार्यालय के माहौल में प्रतिगमन मॉडल डेटा का विश्लेषण कर रहा है।

निर्धारण गुणांक (R²)

एक सांख्यिकी जो मॉडल की उपयुक्तता को दर्शाती है, यह आश्रित चर में भिन्नता के उस अनुपात को दर्शाती है जिसे स्वतंत्र चर से अनुमानित किया जा सकता है। R² का मान 1 होने पर पूर्ण उपयुक्तता का संकेत मिलता है, जबकि 0 होने पर कोई रैखिक संबंध नहीं होता है। इसकी गणना [latex]R² equiv 1 - frac{SS_{res}}{SS_{tot}}[/latex] सूत्र से की जाती है, जहाँ [latex]SS_{res}[/latex] अवशिष्ट वर्गों का योग है।

फ्रेडहोम सूचकांक

फ्रेडहोम सूचकांक, रैंक-शून्यता प्रमेय को बानाच स्पेस जैसे अनंत-आयामी स्पेस तक विस्तारित करता है। फ्रेडहोम ऑपरेटर [latex]T: X to Y[/latex] के लिए, इसका सूचकांक [latex]text{ind}(T) = dim(ker(T)) - dim(text{coker}(T))[/latex] के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ कोकर्नेल का आयाम यह मापता है कि छवि संपूर्ण स्पेस से कितनी दूर है। ऑपरेटर में छोटे-मोटे बदलावों के बावजूद यह सूचकांक एक स्थिर पूर्णांक मान होता है।

Mathematician's desk with topology textbook and chalkboard, representing topological space.

स्थलीय स्थान

एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक क्रमित युग्म [latex](X, tau)[/latex] होता है, जहाँ [latex]X[/latex] एक समुच्चय है और [latex]tau[/latex], [latex]X[/latex] के उपसमुच्चयों का एक संग्रह है, जिन्हें खुले समुच्चय कहा जाता है, जो तीन अभिधारणाओं को संतुष्ट करते हैं: 1) रिक्त समुच्चय [latex]emptyset[/latex] और स्वयं [latex]X[/latex], [latex]tau[/latex] में हैं। 2) [latex]tau[/latex] में किसी भी संख्या में समुच्चयों का संघ भी [latex]tau[/latex] में होता है। 3) [latex]tau[/latex] में किसी भी परिमित संख्या में समुच्चयों का प्रतिच्छेदन भी [latex]tau[/latex] में होता है।

गुणवत्ता नियंत्रण में प्रक्रिया निगरानी के लिए श्वहार्ट नियंत्रण चार्ट।.

शेवर्ट नियंत्रण चार्ट

एसपीसी में समय के साथ किसी प्रक्रिया चर की निगरानी के लिए उपयोग किया जाने वाला एक ग्राफिकल टूल। यह प्रक्रिया औसत का प्रतिनिधित्व करने वाली केंद्रीय रेखा (सीएल) और ऊपरी (यूसीएल) और निचली (एलसीएल) नियंत्रण सीमाओं के बीच डेटा बिंदुओं को प्लॉट करता है। ये सीमाएँ आमतौर पर माध्य से तीन मानक विचलन (μ ± 3 σ) पर निर्धारित की जाती हैं, जो अपेक्षित सामान्य कारण भिन्नता की सीमा को परिभाषित करती हैं।

Statistician analyzing one-way ANOVA results in a modern office setting.

एकतरफ़ा विचरण विश्लेषण (एनोवा)

वन-वे एनोवा का उपयोग तीन या दो से अधिक स्वतंत्र समूहों के माध्यों के बीच सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर हैं या नहीं, यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है। यह एक सतत आश्रित चर पर एक एकल श्रेणीबद्ध स्वतंत्र चर (जिसे कारक कहा जाता है) के प्रभाव का विश्लेषण करता है। शून्य परिकल्पना यह बताती है कि सभी समूह माध्य बराबर हैं, [latex]H_0: mu_1 = mu_2 = dots = mu_k[/latex]।