Série de Fourier

Il s'agit de l'un des premiers problèmes de probabilité géométrique, considéré comme un précurseur de la méthode de Monte Carlo. Il s'agit de laisser tomber une aiguille de longueur [latex]l[/latex] sur un sol comportant des lignes parallèles distantes de [latex]t[/latex]. La probabilité que l'aiguille traverse une ligne est de [latex]P = \frac{2l}{\pi t}[/latex] (pour [latex]l \le t[/latex]). On dispose ainsi d'une expérience physique pour estimer [latex]\pi[/latex].

Le théorème de Parseval relie l'énergie totale d'un signal (l'intégrale de son carré sur une période) à la somme des énergies au carré de ses composantes de la série de Fourier. Pour une fonction [latex]s(x)[/latex] de période [latex]P[/latex], le théorème énonce : [latex]\frac{1}{P} \int_P |s(x)|^2 , dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2[/latex], où [latex]c_n[/latex] sont les coefficients de Fourier complexes.

L'inférence bayésienne est une méthode statistique qui utilise le théorème de Bayes pour mettre à jour la probabilité d'une hypothèse à mesure que de nouvelles preuves ou informations deviennent disponibles. Il s'agit d'un principe fondamental des statistiques bayésiennes. L'idée centrale s'exprime ainsi : la probabilité a posteriori est proportionnelle au produit de la probabilité a priori et de la vraisemblance, [latex]p(\theta|D) \propto p(D|\theta)p(\theta)[/latex], où [latex]\theta[/latex] est le paramètre et D les données.

Le théorème Egregium (en latin "Théorème remarquable") stipule que la courbure gaussienne d'une surface est une propriété intrinsèque. Cela signifie qu'elle ne dépend que de la façon dont les distances sont mesurées sur la surface elle-même, et non de la façon dont la surface est intégrée dans l'espace tridimensionnel. Une feuille de papier plate peut être roulée en cylindre mais pas en sphère sans s'étirer.

Pour qu'une série de Fourier converge vers la valeur de la fonction, celle-ci doit satisfaire aux conditions de Dirichlet sur une période. Ces conditions sont les suivantes : (1) la fonction doit être absolument intégrable, (2) elle doit posséder un nombre fini d'extrema (maxima et minima), et (3) elle doit présenter un nombre fini de discontinuités.

Les lois de Morgan sont une paire de règles de transformation de l'algèbre de Boole qui sont fondamentales pour la conception de circuits numériques. La première loi stipule que la négation d'une conjonction est la disjonction des négations : [latex]\neg(P \land Q) \iff (\neg P) \lor (\neg Q)[/latex]. La seconde stipule que la négation d'une disjonction est la conjonction des négations : [latex]\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)[/latex].

Le théorème de Bayes décrit la probabilité d'un événement sur la base des connaissances préalables des conditions qui pourraient être liées à cet événement. Il s'agit d'un concept fondamental en théorie des probabilités et en statistiques. Mathématiquement, il s'écrit [latex]P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex], où A et B sont des événements et [latex]P(B) \neq 0[/latex]. Il relie les probabilités conditionnelles et marginales de deux événements aléatoires.

Une équation différentielle partielle elliptique linéaire du second ordre qui décrit des systèmes dans un état stable ou d'équilibre. Elle s'écrit [latex]nabla^2 u = 0[/latex] ou [latex]Delta u = 0[/latex], où [latex]nabla^2[/latex] (ou [latex]Delta[/latex]) est l'opérateur de Laplace. Les solutions, appelées fonctions harmoniques, sont les fonctions les plus lisses possibles et représentent des potentiels dans des domaines tels que l'électrostatique, la gravitation et l'écoulement des fluides.

Une approche standard pour l'approximation des solutions de systèmes surdéterminés en trouvant des paramètres de modèle qui minimisent la somme des différences au carré entre les valeurs observées et prédites. Cette somme est connue sous le nom de somme des résidus quadratiques (SSR). L'objectif est de trouver les paramètres [latex]\hat{\beta}[/latex] qui minimisent la fonction [latex]S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex].

Équation différentielle partielle parabolique linéaire fondamentale du second ordre décrivant la distribution de la chaleur ou d'autres processus de diffusion. Sa forme canonique est [latex]\frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla^2 u[/latex], où [latex]u(\vec{x},t)[/latex] est la température, [latex]t[/latex] est le temps et [latex]\alpha[/latex] est la diffusivité thermique. Les solutions modélisent l'évolution d'une distribution initiale de la température, lissant les irrégularités au fil du temps et s'approchant d'un état stable.

Les coefficients de la série de Fourier d'une fonction [latex]s(x)[/latex] de période [latex]P[/latex] sont calculés à l'aide de formules intégrales. La composante continue est [latex]a_0 = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) , dx[/latex]. Les coefficients cosinus sont [latex]a_n = \frac{2}{P} int_{P} s(x) \cos\left(\frac{2pi n x}{P}\right) , dx[/latex], et les coefficients sinus sont [latex]b_n = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) , dx[/latex] pour [latex]n ge 1[/latex].

Une solution fondamentale d'un opérateur différentiel partiel linéaire [latex]L[/latex] est une solution à l'équation [latex]Lu = delta(x)[/latex], où [latex]delta(x)[/latex] est la fonction delta de Dirac. Elle représente la réponse du système à une source ponctuelle ou à une impulsion. Une fois connue, la solution de l'équation inhomogène [latex]Lu = f(x)[/latex] peut être trouvée par convolution : [latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], où [latex]G[/latex] est la solution fondamentale.

Le théorème de Gauss-Bonnet relie la géométrie d'une surface compacte à deux dimensions à sa topologie. Il stipule que l'intégrale de la courbure gaussienne [latex]K[/latex] sur l'ensemble de la surface [latex]M[/latex] est égale à [latex]2\pi[/latex] fois la caractéristique d'Euler [latex]\chi(M)[/latex] de la surface. La formule est [latex]\int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

L'exactitude désigne la proximité d'une valeur mesurée à une valeur de référence ou à une valeur vraie connue. La précision désigne la proximité de deux mesures ou plus entre elles. Un système de mesure peut être précis mais pas exact, exact mais pas précis, ni l'un ni l'autre, ou les deux. Ces deux concepts sont indépendants l'un de l'autre en théorie de la mesure.