Méthode des caractéristiques (mathématiques)

Le théorème d'Euclide affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers. La démonstration classique repose sur l'absurde. Elle suppose une liste finie de tous les nombres premiers p₁, p₂, …, pₙ. Elle considère ensuite le nombre P = p₁ p₂ … pₙ + 1. Ce nombre P est soit premier, soit non premier. S'il est premier, il s'agit d'un nouveau nombre premier qui ne figure pas dans la liste.

Un nombre rationnel est tout nombre qui peut être exprimé sous forme de fraction ou de quotient [latex]p/q[/latex], où [latex]p[/latex] est un nombre entier et [latex]q[/latex] est un nombre entier non nul. L'ensemble de tous les nombres rationnels est noté [latex]\mathbb{Q}[/latex]. Ce concept fondamental étend les nombres entiers pour inclure les fractions, permettant ainsi de représenter des parties d'un tout.

Une équation différentielle partielle (EDP) est une équation qui impose des relations entre les différentes dérivées partielles d'une fonction multivariable. La fonction est souvent appelée l'inconnue, et une EDP décrit une relation entre cette fonction inconnue et ses dérivées. Contrairement aux équations différentielles ordinaires (EDO), qui impliquent des fonctions d'une seule variable, les EDP sont fondamentales pour modéliser des systèmes multidimensionnels.

Un corollaire direct du théorème fondamental de l'algèbre est que tout polynôme non constant à coefficients réels peut être factorisé en un produit de facteurs linéaires et de facteurs quadratiques irréductibles, tous à coefficients réels. Les facteurs linéaires correspondent aux racines réelles, tandis que les facteurs quadratiques irréductibles correspondent à des paires de racines complexes conjuguées [latex]a \pm bi[/latex].

Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est pas algébrique, ce qui signifie qu'il n'est la racine d'aucune équation polynomiale non nulle à coefficients entiers (ou rationnels). Tous les nombres transcendants sont irrationnels, mais tous les nombres irrationnels ne sont pas transcendants (par exemple, [latex]\sqrt{2}[/latex] est irrationnel mais algébrique, car il est une racine de [latex]x^2 - 2 = 0[/latex]).

Bien qu'il soit dense, ce qui signifie qu'entre deux nombres rationnels distincts il en existe un autre, l'ensemble de tous les nombres rationnels [latex]\mathbb{Q}[/latex] est infini dénombrable. Cela signifie que tous les nombres rationnels peuvent être mis en correspondance biunivoque avec les nombres naturels [latex]\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}[/latex]. Ce résultat surprenant démontre que [latex]\mathbb{Q}[/latex] a la même cardinalité que [latex]\mathbb{N}[/latex] et [latex]\mathbb{Z}[/latex].

Résultat clé de la théorie des nombres selon lequel si un nombre premier [latex]p[/latex] divise le produit de deux entiers [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex], alors [latex]p[/latex] doit diviser au moins l'un de ces entiers. Autrement dit, si [latex]p | ab[/latex], alors [latex]p | a[/latex] ou [latex]p | b[/latex]. Cette propriété est essentielle pour prouver l'unicité du théorème fondamental de l'arithmétique.

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut être exprimé comme le rapport de deux entiers, p/q, où p est un entier et q un entier non nul. Autrement dit, ce sont des nombres réels qui ne sont pas rationnels. Leur développement décimal est infini et ne présente jamais de séquence répétitive permanente.

Un nombre réel est rationnel si et seulement si sa représentation décimale est périodique. Cela signifie que la séquence de chiffres finit par répéter indéfiniment une séquence finie de chiffres. Cette partie répétitive est appelée la répétition. Par exemple, [latex]1/3 = 0,333...[/latex] (la répétition est ' 3 ') et [latex]3/7 = 0,428571428571...[/latex] (la répétition est ' 428571 '). Les décimales terminées sont un cas particulier où la répétition est ' 0 '.

Le théorème de Bézout est un énoncé fondamental de la théorie des intersections. Il affirme que le nombre de points d'intersection de deux courbes algébriques planes de degrés [latex]m[/latex] et [latex]n[/latex] est exactement [latex]mn[/latex], à condition de travailler dans un plan projectif sur un corps algébriquement clos, de compter les points avec multiplicité et d'inclure les points à l'infini où les asymptotes parallèles se rencontrent.

Le théorème fondamental de l'algèbre stipule que tout polynôme à une variable non constant avec des coefficients complexes possède au moins une racine complexe. Cela garantit que le champ des nombres complexes est algébriquement clos, ce qui signifie que les équations polynomiales qui ne peuvent être résolues en nombres réels peuvent être résolues en nombres complexes. Pour un polynôme [latex]p(z) = a_n z^n + \dots + a_1 z + a_0[/latex], il existe un [latex]z_0 dans \mathbb{C}[/latex] tel que [latex]p(z_0) = 0[/latex].

Ce théorème stipule que tout nombre entier supérieur à 1 est soit un nombre premier, soit peut être représenté de manière unique comme un produit de nombres premiers, sans tenir compte de l'ordre des facteurs. Par exemple, [latex]1200 = 2^4 fois 3^1 fois 5^2[/latex]. Cette factorisation unique est une pierre angulaire de la théorie des nombres, car elle fournit une structure multiplicative fondamentale pour les nombres entiers.

La représentation canonique, ou forme standard, d'un entier positif [latex]n[/latex] est sa factorisation unique en nombres premiers écrite sous forme de produit de puissances de nombres premiers classés par ordre croissant. Pour tout entier [latex]n > 1[/latex], on peut écrire [latex]n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}[/latex], où [latex]p_1 < p_2 < \cdots < p_k[/latex] sont des nombres premiers et les exposants [latex]a_i[/latex] sont des entiers positifs.

Théorème fondamental d'existence et d'unicité des équations aux dérivées partielles associées aux problèmes de Cauchy aux valeurs initiales. Il stipule que si l'EDP et les conditions initiales sont analytiques (représentables par des séries entières convergentes), alors une solution analytique unique existe au voisinage de la surface initiale. Il garantit l'existence locale, mais ne traite pas du comportement global ni de la bonne pose.