Les sept ponts de Königsberg

Le théorème de Pythagore est une relation fondamentale de la géométrie euclidienne entre les trois côtés d'un triangle rectangle. Il stipule que la surface du carré dont le côté est l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égale à la somme des surfaces des carrés des deux autres côtés. La formule s'exprime comme suit : [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex].

Également connu sous le nom de méthode des indivisibles, ce principe stipule que si deux solides situés entre deux plans parallèles ont la propriété que chaque plan parallèle aux deux plans donnés les coupe en sections de même surface, alors les deux solides ont des volumes égaux. Il s'agit d'une méthode puissante pour calculer les volumes de formes complexes sans avoir recours au calcul.

Le théorème de Pythagore fournit la base de la formule de distance en coordonnées cartésiennes. La distance [latex]d[/latex] entre deux points [latex](x_1, y_1)[/latex] et [latex](x_2, y_2)[/latex] dans un plan est donnée par [latex]d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[/latex]. Cette formule est une application directe du théorème à un triangle rectangle dont les côtés sont les différences entre les coordonnées x et y.

Théorème fondamental en topologie et en géométrie stipulant que pour tout polyèdre convexe, le nombre de sommets (V), d'arêtes (E) et de faces (F) est lié par la formule [latex]V - E + F = 2[/latex]. Cette valeur, 2, est la caractéristique d'Euler d'une sphère, révélant une propriété topologique profonde indépendante de la forme spécifique du polyèdre.

Le théorème de Bayes décrit la probabilité d'un événement sur la base des connaissances préalables des conditions qui pourraient être liées à cet événement. Il s'agit d'un concept fondamental en théorie des probabilités et en statistiques. Mathématiquement, il s'écrit [latex]P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex], où A et B sont des événements et [latex]P(B) \neq 0[/latex]. Il relie les probabilités conditionnelles et marginales de deux événements aléatoires.

Une équation différentielle partielle elliptique linéaire du second ordre qui décrit des systèmes dans un état stable ou d'équilibre. Elle s'écrit [latex]nabla^2 u = 0[/latex] ou [latex]Delta u = 0[/latex], où [latex]nabla^2[/latex] (ou [latex]Delta[/latex]) est l'opérateur de Laplace. Les solutions, appelées fonctions harmoniques, sont les fonctions les plus lisses possibles et représentent des potentiels dans des domaines tels que l'électrostatique, la gravitation et l'écoulement des fluides.

La racine carrée de 2 est un nombre irrationnel, ce qui signifie qu'il ne peut être exprimé sous la forme d'un rapport entre deux nombres entiers [latex]p/q[/latex]. La preuve classique, souvent attribuée aux pythagoriciens, est une preuve par contradiction : elle suppose que [latex]\sqrt{2} = p/q[/latex] est irréductible, ce qui conduit à la conclusion que [latex]p[/latex] et [latex]q[/latex] doivent être tous deux pairs, ce qui contredit l'hypothèse initiale.

Le théorème de Ptolémée fournit une élégante démonstration géométrique des formules de somme et de différence en trigonométrie. En inscrivant un quadrilatère dans un cercle dont un côté est le diamètre, les longueurs des côtés peuvent être exprimées sous forme de sinus et de cosinus des angles inscrits. L'application du théorème [latex]AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA[/latex] donne directement des identités telles que [latex]sin(alpha + beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta[/latex].

Le système de coordonnées cartésiennes fournit un modèle algébrique pour la géométrie euclidienne. Il utilise un ou plusieurs nombres, ou coordonnées, pour déterminer de manière unique la position d'un point dans l'espace. Dans un plan, deux droites perpendiculaires (l'axe des x et l'axe des y) sont utilisées, ce qui permet de décrire des formes géométriques par des équations algébriques. Cette fusion de l'algèbre et de la géométrie est appelée géométrie analytique.

L'induction mathématique est une technique utilisée pour prouver qu'une propriété [latex]P(n)[/latex] est valable pour chaque nombre naturel [latex]n[/latex]. Elle comprend deux étapes : le cas de base, qui consiste à prouver que [latex]P(0)[/latex] ou [latex]P(1)[/latex] est vrai, et l'étape inductive, qui consiste à prouver que si [latex]P(k)[/latex] est vrai pour un certain nombre naturel [latex]k[/latex] (l'hypothèse d'induction), alors [latex]P(k+1)[/latex] est également vrai.

Équation différentielle partielle hyperbolique linéaire du second ordre qui régit la propagation de divers types d'ondes. Dans sa forme la plus simple, elle s'écrit [latex]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex], où [latex]u(\vec{x},t)[/latex] est l'amplitude de l'onde, [latex]c[/latex] est la vitesse de l'onde, et [latex]\nabla^2[/latex] est l'opérateur de Laplace. Il modélise des phénomènes tels que les cordes vibrantes, les ondes sonores et les ondes lumineuses.

La caractéristique d'Euler est un invariant topologique, un nombre qui décrit la structure ou la forme d'un espace topologique indépendamment de la façon dont il est plié. Pour les polyèdres, elle est définie par la formule [latex]\chi = V - E + F[/latex], où V, E et F sont respectivement le nombre de sommets, d'arêtes et de faces. Pour une sphère, [latex]\chi = 2[/latex], tandis que pour un tore, [latex]\chi = 0[/latex].

Il s'agit de l'un des premiers problèmes de probabilité géométrique, considéré comme un précurseur de la méthode de Monte Carlo. Il s'agit de laisser tomber une aiguille de longueur [latex]l[/latex] sur un sol comportant des lignes parallèles distantes de [latex]t[/latex]. La probabilité que l'aiguille traverse une ligne est de [latex]P = \frac{2l}{\pi t}[/latex] (pour [latex]l \le t[/latex]). On dispose ainsi d'une expérience physique pour estimer [latex]\pi[/latex].

Le théorème de Parseval relie l'énergie totale d'un signal (l'intégrale de son carré sur une période) à la somme des énergies au carré de ses composantes de la série de Fourier. Pour une fonction [latex]s(x)[/latex] de période [latex]P[/latex], le théorème énonce : [latex]\frac{1}{P} \int_P |s(x)|^2 , dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2[/latex], où [latex]c_n[/latex] sont les coefficients de Fourier complexes.