Les cinq solides de Platon

Le cinquième postulat d'Euclide, le postulat des parallèles, est l'axiome qui définit la géométrie euclidienne : il stipule que si une ligne coupe deux autres lignes et que la somme des angles intérieurs d'un côté est inférieure à deux angles droits ([latex]\alpha + \beta < 180^\circ[/latex]), alors les deux lignes finiront par se croiser de ce côté. Ce postulat garantit l'existence d'une seule droite parallèle passant par un point qui n'est pas situé sur une droite donnée.

Également connu sous le nom de méthode des indivisibles, ce principe stipule que si deux solides situés entre deux plans parallèles ont la propriété que chaque plan parallèle aux deux plans donnés les coupe en sections de même surface, alors les deux solides ont des volumes égaux. Il s'agit d'une méthode puissante pour calculer les volumes de formes complexes sans avoir recours au calcul.

Il s'agit d'un problème historique important en mathématiques. Sa résolution négative par Leonhard Euler en 1736 a jeté les bases de la théorie des graphes et préfiguré l'idée de topologie. Le problème demandait si les sept ponts de la ville de Königsberg pouvaient tous être traversés en un seul voyage sans revenir sur ses pas, le voyage se terminant sur la même masse terrestre qu'au départ.

Théorème fondamental en topologie et en géométrie stipulant que pour tout polyèdre convexe, le nombre de sommets (V), d'arêtes (E) et de faces (F) est lié par la formule [latex]V - E + F = 2[/latex]. Cette valeur, 2, est la caractéristique d'Euler d'une sphère, révélant une propriété topologique profonde indépendante de la forme spécifique du polyèdre.

One of the earliest problems in geometric probability, it is considered a precursor to the Monte Carlo method. It involves dropping a needle of length [latex]l[/latex] onto a floor with parallel lines a distance [latex]t[/latex] apart. The probability that the needle will cross a line is [latex]P = \frac{2l}{\pi t}[/latex] (for [latex]l \le t[/latex]). This provides a physical experiment to estimate [latex]\pi[/latex].

A standard approach for approximating solutions to overdetermined systems by finding model parameters that minimize the sum of the squared differences between observed and predicted values. This sum is known as the sum of squared residuals (SSR). The goal is to find the parameters [latex]\hat{\beta}[/latex] that minimize the function [latex]S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex].

Les cinq postulats d'Euclide constituent la base axiomatique de la géométrie euclidienne telle que décrite dans son traité « Éléments ». Ce sont des hypothèses fondamentales dont découlent logiquement tous les autres théorèmes. Les quatre premiers concernent la construction des droites et des cercles, tandis que le cinquième, le postulat des parallèles, définit de manière unique la nature plane et non courbe de l'espace euclidien. Ces axiomes ont établi la méthode déductive en mathématiques.

Un théorème fondamental de la géométrie euclidienne stipule que la somme des mesures des trois angles intérieurs d'un triangle est toujours égale à deux angles droits, soit 180 degrés. Cette propriété, [latex]\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ[/latex], est une conséquence directe du postulat des parallèles et s'applique à tous les triangles, quelles que soient leur taille ou leur forme, dans un plan plat euclidien.

Le théorème de Pythagore est une relation fondamentale de la géométrie euclidienne entre les trois côtés d'un triangle rectangle. Il stipule que la surface du carré dont le côté est l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égale à la somme des surfaces des carrés des deux autres côtés. La formule s'exprime comme suit : [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex].

Le système de coordonnées cartésiennes fournit un modèle algébrique pour la géométrie euclidienne. Il utilise un ou plusieurs nombres, ou coordonnées, pour déterminer de manière unique la position d'un point dans l'espace. Dans un plan, deux droites perpendiculaires (l'axe des x et l'axe des y) sont utilisées, ce qui permet de décrire des formes géométriques par des équations algébriques. Cette fusion de l'algèbre et de la géométrie est appelée géométrie analytique.

Équation différentielle partielle hyperbolique linéaire du second ordre qui régit la propagation de divers types d'ondes. Dans sa forme la plus simple, elle s'écrit [latex]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex], où [latex]u(\vec{x},t)[/latex] est l'amplitude de l'onde, [latex]c[/latex] est la vitesse de l'onde, et [latex]\nabla^2[/latex] est l'opérateur de Laplace. Il modélise des phénomènes tels que les cordes vibrantes, les ondes sonores et les ondes lumineuses.

La caractéristique d'Euler est un invariant topologique, un nombre qui décrit la structure ou la forme d'un espace topologique indépendamment de la façon dont il est plié. Pour les polyèdres, elle est définie par la formule [latex]\chi = V - E + F[/latex], où V, E et F sont respectivement le nombre de sommets, d'arêtes et de faces. Pour une sphère, [latex]\chi = 2[/latex], tandis que pour un tore, [latex]\chi = 0[/latex].

Une équation différentielle partielle elliptique linéaire du second ordre qui décrit des systèmes dans un état stable ou d'équilibre. Elle s'écrit [latex]nabla^2 u = 0[/latex] ou [latex]Delta u = 0[/latex], où [latex]nabla^2[/latex] (ou [latex]Delta[/latex]) est l'opérateur de Laplace. Les solutions, appelées fonctions harmoniques, sont les fonctions les plus lisses possibles et représentent des potentiels dans des domaines tels que l'électrostatique, la gravitation et l'écoulement des fluides.

Équation différentielle partielle parabolique linéaire fondamentale du second ordre décrivant la distribution de la chaleur ou d'autres processus de diffusion. Sa forme canonique est [latex]\frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla^2 u[/latex], où [latex]u(\vec{x},t)[/latex] est la température, [latex]t[/latex] est le temps et [latex]\alpha[/latex] est la diffusivité thermique. Les solutions modélisent l'évolution d'une distribution initiale de la température, lissant les irrégularités au fil du temps et s'approchant d'un état stable.