This theorem states that every integer greater than 1 is either a prime number or can be uniquely represented as a product of prime numbers, disregarding the order of the factors. For example, [latex]1200 = 2^4 \times 3^1 \times 5^2[/latex]. This unique factorization is a cornerstone of number theory, providing a fundamental multiplicative structure for the integers.
The Fundamental Theorem of Arithmetic, also called the unique factorization theorem, consists of two main assertions for any integer [latex]n > 1[/latex]: first, that [latex]n[/latex] can be written as a product of prime numbers (the existence part), and second, that this product is unique, apart from the order of the factors (the uniqueness part). The existence of a prime factorization is typically proven using strong induction. The base case is that 2 is prime. For the inductive step, assume every integer up to [latex]k[/latex] has a prime factorization. For [latex]k+1[/latex], it is either prime (and we are done) or composite. If it is composite, it can be written as a product of two smaller integers, [latex]a \times b[/latex]. By the induction hypothesis, both [latex]a[/latex] and [latex]b[/latex] have prime factorizations, and their product gives a prime factorization for [latex]k+1[/latex].
The uniqueness part is more subtle and relies critically on Euclid’s Lemma, which states that if a prime [latex]p[/latex] divides a product [latex]ab[/latex], then [latex]p[/latex] must divide either [latex]a[/latex] or [latex]b[/latex]. To prove uniqueness, assume an integer [latex]n[/latex] has two different prime factorizations: [latex]n = p_1 p_2 cdots p_k = q_1 q_2 cdots q_m[/latex]. The prime [latex]p_1[/latex] divides the left side, so it must divide the right side. By Euclid’s Lemma, [latex]p_1[/latex] must divide one of the [latex]q_j[/latex]. Since all [latex]q_j[/latex] are prime, [latex]p_1[/latex] must be equal to some [latex]q_j[/latex]. We can then cancel these terms from both sides and repeat the process, eventually showing that the two factorizations must be identical. While elements of this theorem appeared in Euclid’s *Elements* (c. 300 BC), Carl Friedrich Gauss provided the first clear statement and rigorous proof in his 1801 work *Disquisitiones Arithmeticae*, solidifying its foundational role in number theory.
متاح للتحديات الجديدة
مهندس ميكانيكي، مشروع، هندسة العمليات أو مدير البحث والتطوير
متاح لتحدي جديد في غضون مهلة قصيرة.
تواصل معي على LinkedIn
تكامل الإلكترونيات المعدنية والبلاستيكية، التصميم مقابل التكلفة، ممارسات التصنيع الجيدة (GMP)، بيئة العمل، الأجهزة والمواد الاستهلاكية متوسطة إلى عالية الحجم، التصنيع المرن، الصناعات الخاضعة للتنظيم، شهادات CE وFDA، التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD)، Solidworks، الحزام الأسود من Lean Sigma، شهادة ISO 13485 الطبية
احصل على جميع المقالات الجديدة
مجاني، لا يوجد بريد عشوائي، ولا يتم توزيع البريد الإلكتروني ولا إعادة بيعه
أو يمكنك الحصول على عضويتك الكاملة -مجانًا- للوصول إلى جميع المحتويات المحظورة >هنا<
(إذا كان التاريخ غير معروف أو غير ذي صلة، على سبيل المثال "ميكانيكا الموائع"، يتم تقديم تقدير تقريبي لظهوره الملحوظ)
الاختراع والابتكار والمبادئ التقنية ذات الصلة
{{العنوان}}
{% إذا كان المقتطف %}{{ مقتطفات | truncatewords: 55 }}
{% endif %}
