ينص هذا المبدأ، الذي يُعرَف أيضًا باسم طريقة عدم التجزئة، على أنه إذا كان هناك مجسّمان يقعان بين مستويين متوازيين لهما خاصية أن كل مستوى موازٍ للمستويين المعطيين يتقاطعان معًا في مقاطع عرضية متساوية المساحة، فإن المجسمين يكونان متساويين في الحجم. وهي توفر طريقة فعالة لحساب حجوم الأشكال المعقدة دون حساب التفاضل والتكامل.
يقدم مبدأ كافاليري طريقة أنيقة وبديهية لتحديد حجم الأجسام الثلاثية الأبعاد. فهي تصيغ فكرة تقسيم مجسَّم إلى عدد لا نهائي من المقاطع العرضية المتناهية الصغر أو "غير القابلة للتجزئة". والفكرة الأساسية هي أنه إذا كان لديك مجسمان، ولكل ارتفاع ممكن، فإن مساحة المقطع العرضي للمجسم الأول تساوي مساحة المقطع العرضي للمجسم الثاني، فلا بد أن يكون حجمهما الإجمالي متساويًا. يشبه الأمر المقارنة بين رزمتين من العملات المعدنية؛ فإذا كانت مساحة كل عملة في إحدى الرزمتين مساوية لمساحة العملة المناظرة لها في الرزمة الأخرى، فإن الحجم الكلي للمعدن هو نفسه، بغض النظر عن كيفية انحراف الرزمتين أو ترتيبها.
أحد التطبيقات التقليدية لهذا المبدأ هو إيجاد حجم الكرة. افترض أن لدينا نصف كرة نصف قطرها [latex]r[/latex]. مساحة مقطعها العرضي عند ارتفاع [latex]h[/latex] من القاعدة هي دائرة مساحتها [latex]A = \pi(r')^2[/latex]. وفقًا لنظرية فيثاغورس، [latex]h^2 + (r')^2 = r^2[/latex]، إذن [latex](r')^2 = r^2 - h^2[/latex]. وبالتالي، فإن المساحة تساوي [latex]A = \pi(r^2 - h^2)[/latex]. والآن، لنفترض أن لدينا أسطوانة نصف قطرها [latex]r[/latex] وارتفاعها [latex]r[/latex]، مع إزالة مخروط مقلوب بنفس نصف القطر والارتفاع من مركزها. مساحة المقطع العرضي لهذا الشكل عند الارتفاع [latex]h[/latex] تساوي مساحة الدائرة الأكبر (من الأسطوانة) ناقص مساحة الدائرة الأصغر (من المخروط). وهذا يُعطينا [latex]HTA = \pi r^2 - \pi h^2 = \pi(r^2 - h^2)[/latex].
وبما أن مساحتي المقطع العرضي متطابقتان عند كل ارتفاع [latex]h[/latex]، فإن مبدأ كافالييري ينص على أن حجم نصف الكرة يساوي حجم الأسطوانة ناقص المخروط. حجم الأسطوانة يساوي [latex]\pi r^2 \cdot r = \pi r^3[/latex]، وحجم المخروط يساوي [latex]\frac{1}{3}\pi r^2 \cdot r = \frac{1}{3}\pi r^3[/latex]. ومن ثم، فإن حجم نصف الكرة يساوي [latex]\pi r^3 - \frac{{1}{{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3[/latex]. حجم الكرة الكاملة يساوي ضعف هذا، أو [latex]\frac{4}{3}\pi r^3[/latex]. كانت هذه الطريقة، التي طورها بونافينتورا كافاليري في القرن السابع عشر، خطوة مهمة نحو تطوير حساب التفاضل والتكامل على يد نيوتن ولايبنتز.
متاح للتحديات الجديدة
مهندس ميكانيكي، مشروع، هندسة العمليات أو مدير البحث والتطوير
متاح لتحدي جديد في غضون مهلة قصيرة.
تواصل معي على LinkedIn
تكامل الإلكترونيات المعدنية والبلاستيكية، التصميم مقابل التكلفة، ممارسات التصنيع الجيدة (GMP)، بيئة العمل، الأجهزة والمواد الاستهلاكية متوسطة إلى عالية الحجم، التصنيع المرن، الصناعات الخاضعة للتنظيم، شهادات CE وFDA، التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD)، Solidworks، الحزام الأسود من Lean Sigma، شهادة ISO 13485 الطبية
احصل على جميع المقالات الجديدة
مجاني، لا يوجد بريد عشوائي، ولا يتم توزيع البريد الإلكتروني ولا إعادة بيعه
أو يمكنك الحصول على عضويتك الكاملة -مجانًا- للوصول إلى جميع المحتويات المحظورة >هنا<
(إذا كان التاريخ غير معروف أو غير ذي صلة، على سبيل المثال "ميكانيكا الموائع"، يتم تقديم تقدير تقريبي لظهوره الملحوظ)
الاختراع والابتكار والمبادئ التقنية ذات الصلة
{{العنوان}}
{% إذا كان المقتطف %}{{ مقتطفات | truncatewords: 55 }}
{% endif %}
