A fundamental solution of a linear التفاضلية الجزئية operator [latex]L[/latex] is a solution to the equation [latex]Lu = delta(x)[/latex], where [latex]delta(x)[/latex] is the Dirac delta function. It represents the response of the system to a point source or impulse. Once known, the solution to the inhomogeneous equation [latex]Lu = f(x)[/latex] can be found by convolution: [latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], where [latex]G[/latex] is the fundamental solution.
يُعد مفهوم الحل الأساسي، الذي غالبًا ما يرتبط ارتباطًا وثيقًا بدالة غرين، أداة قوية لحل متغيرات PDEs الخطية غير المتجانسة. دالة دلتا ديراك دلتا [latex]delta(x)[/latex] هي دالة معممة تمثل مصدرًا نقطيًّا مثاليًّا ذا كثافة لا نهائية وكتلة كلية واحدة، مركَّزًا عند [latex]x=0[/latex]. ومن ثَمَّ، فإن الحل الأساسي [latex]G(x)[/latex] هو التأثير أو المجال الناتج عن هذا المصدر النقطي الوحيد.
The power of this method comes from the superposition principle, which applies to linear equations. Any general source term [latex]f(x)[/latex] can be thought of as a sum (or integral) of infinitely many weighted point sources. The total solution [latex]u(x)[/latex] is then the superposition of the responses to each of these point sources. This superposition is mathematically expressed by the convolution integral [latex]u(x) = int G(x-y)f(y) dy[/latex]. This transforms the problem of solving a PDE into the problem of finding the fundamental solution and then performing an integration.
For example, the fundamental solution for the لابلاس operator in three dimensions ([latex]L = nabla^2[/latex]) is [latex]G(vec{r}) = -frac{1}{4pi|vec{r}|}[/latex], which is the form of the electrostatic or gravitational potential from a point charge or mass. The fundamental solution for the المعادلة الحرارية is the ‘heat kernel’, a Gaussian function that spreads out over time. Green’s functions are closely related but are tailored to specific domains and boundary conditions, often constructed from the fundamental solution.
متاح للتحديات الجديدة
مهندس ميكانيكي، مشروع، هندسة العمليات أو مدير البحث والتطوير
متاح لتحدي جديد في غضون مهلة قصيرة.
تواصل معي على LinkedIn
تكامل الإلكترونيات المعدنية والبلاستيكية، التصميم مقابل التكلفة، ممارسات التصنيع الجيدة (GMP)، بيئة العمل، الأجهزة والمواد الاستهلاكية متوسطة إلى عالية الحجم، التصنيع المرن، الصناعات الخاضعة للتنظيم، شهادات CE وFDA، التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD)، Solidworks، الحزام الأسود من Lean Sigma، شهادة ISO 13485 الطبية
احصل على جميع المقالات الجديدة
مجاني، لا يوجد بريد عشوائي، ولا يتم توزيع البريد الإلكتروني ولا إعادة بيعه
أو يمكنك الحصول على عضويتك الكاملة -مجانًا- للوصول إلى جميع المحتويات المحظورة >هنا<
(إذا كان التاريخ غير معروف أو غير ذي صلة، على سبيل المثال "ميكانيكا الموائع"، يتم تقديم تقدير تقريبي لظهوره الملحوظ)
الاختراع والابتكار والمبادئ التقنية ذات الصلة
{{العنوان}}
{% إذا كان المقتطف %}{{ مقتطفات | truncatewords: 55 }}
{% endif %}
