高斯-波内定理

拓扑学和几何学中的一个基本定理，指出对于任何凸多面体，顶点数（V）、边数（E）和面数（F）的关系式为 [latex]V - E + F = 2[/latex]。这个值，即 2，是球体的欧拉特性，揭示了与多面体具体形状无关的深层拓扑特性。

二阶线性椭圆偏微分方程，用于描述稳态或平衡条件下的系统。它被写成 [latex]nabla^2 u = 0[/latex] 或 [latex]Delta u = 0[/latex]，其中 [latex]nabla^2[/latex]（或 [latex]Delta[/latex]）是拉普拉斯算子。解称为谐函数，是最平滑的函数，代表静电、重力和流体流动等领域的电势。

Theorema Egregium（拉丁语，意为 "显著定理"）指出，曲面的高斯曲率是一种固有属性。这意味着它只取决于如何测量曲面本身的距离，而不取决于曲面如何嵌入三维空间。一张平纸在不拉伸的情况下可以卷成圆柱体，但不能卷成球体。

准确度是指测量值与标准值或已知真实值的接近程度。精确度是指两个或多个测量值相互之间的接近程度。一个测量系统可以是精确但不准确，准确但不精确，两者都不是，或两者兼而有之。在测量理论中，这两个概念是相互独立的。

黎曼几何是微分几何的一个分支，研究黎曼流形——具有黎曼度量的光滑流形。该度量是切空间上内积的集合，其值随点而平滑变化。它允许定义局部几何概念，例如角度、曲线长度、表面积和体积，从而引出广义的曲率概念。

同构是两个拓扑空间之间的连续函数，它有一个连续的反函数。如果存在这样的函数，两个拓扑空间就被称为同构。从拓扑学的角度来看，同构空间是相同的。这一概念体现了这样一种思想，即一个物体可以被拉伸、弯曲或变形为另一个物体，而不会撕裂或粘连，就像一个咖啡杯可以变成一个甜甜圈。

二阶线性双曲偏微分方程，用于控制各种波的传播。最简单的形式是 [latex]\frac\{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex]，其中 [latex]u(\vec{x},t)[/latex] 是波的振幅，[latex]c[/latex] 是波速，[latex]\nabla^2[/latex] 是拉普拉斯算子。它是振动弦、声波和光波等现象的模型。

欧拉特性是一个拓扑不变量，是一个描述拓扑空间结构或形状的数字，与空间的弯曲方式无关。对于多面体，它由公式 [latex]\chi = V - E + F[/latex] 定义，其中 V、E 和 F 分别是顶点、边和面的数量。对于球面，[latex]\chi = 2[/latex]，而对于环面，[latex]\chi = 0[/latex]。

描述热分布或其他扩散过程的基本二阶线性抛物线偏微分方程。其典型形式为 [latex]\frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla^2 u[/latex]，其中 [latex]u(\vec{x},t)[/latex] 为温度，[latex]t[/latex] 为时间，[latex]\alpha[/latex] 为热扩散率。解法模拟了初始温度分布的演变过程，随着时间的推移，不规则的温度分布逐渐平滑并接近稳定状态。

线性偏微分算子 [latex]L[/latex] 的基本解是方程 [latex]Lu = delta(x)[/latex] 的解，其中 [latex]delta(x)[/latex] 是 Dirac delta 函数。它表示系统对点源或脉冲的响应。一旦知道了非均相方程 [latex]Lu = f(x)[/latex] 的解，就可以通过卷积求得：[latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], 其中 [latex]G[/latex] 为基本解。

德摩根定律是布尔代数中的一对变换规则，是数字电路设计的基础。第一条定律指出，连合的否定是否定的析取：[latex]\neg(P \land Q) \iff (\neg P) \lor (\neg Q)[/latex].第二种说法是，析取的否定是否定的合取：[latex]\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)[/latex].

可微分流形是一个局部类似于欧几里得空间的拓扑空间，允许微积分的应用。每个点都有一个与 [latex]\mathbb{R}^n[/latex] 的开放子集同构的邻域。这些局部坐标系被称为图，它们通过平稳过渡函数相互关联，形成了定义流形可微分结构的图集。

数字电子技术以布尔代数为基础，布尔代数是乔治-布尔提出的一种数学逻辑系统。它使用两个值，通常是 0 和 1（或假和真），以及三种基本运算：AND（连接）、OR（析取）和 NOT（否定）。这些运算直接对应于构成所有数字电路构件的逻辑门。

该定理指出，对于映射紧凑凸集到自身的任何连续函数 [latex]f[/latex]，存在一个点 [latex]x_0[/latex]，使得 [latex]f(x_0) = x_0[/latex]。这个点称为定点。非正式地讲，如果把一个国家的地图揉成一团，然后放在这个国家的边界内，那么地图上总会有至少一个点在其对应的现实世界位置的正上方。