柯西-科瓦列夫斯基定理

代数基本定理指出，每个非常量单变量复系数多项式至少有一个复数根。这保证了复数域具有代数闭性，即无法用实数求解的多项式方程可用复数求解。 对于多项式 \(p(z) = a_n z^n + \dots + a_1 z + a_0\)，存在复数 \(z_0 \in \mathbb{C}\) 使得 \(p(z_0) = 0\)。.

该定理指出，每个大于 1 的整数要么是质数，要么可以唯一地表示为质数的乘积，而不考虑因数的顺序。例如，[latex]1200 = 2^4 \times 3^1 \times 5^2[/latex]。这种唯一因式分解是数论的基石，为整数提供了基本的乘法结构。.

正整数 [latex]n 的规范表示（或称标准形式）是其唯一的质因数分解，以质数幂的乘积形式表示，且质数按升序排列。对于任意大于 1 的整数 [latex]n，可表示为 [latex]n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}[/latex]，其中 [latex]p_1 < p_2 < \cdots < p_k[/latex] 为素数，指数 [latex]a_i[/latex] 为正整数。.

对于素数 [latex]p[/latex]，p进数构成有理数的扩充，其拓扑结构与实数不同。 实数是按常规绝对值度量对有理数[latex]\mathbb{Q}[/latex]的完备化，而p进数则是按p进度量对有理数[latex]\mathbb{Q}[/latex]的完备化——其中若某个数能被[latex]p[/latex]的高次幂整除，则该数被视为"小数"。.

Sheaf cohomology 是现代代数几何中研究几何空间全局性质的核心工具。对于空间 [latex]X[/latex] 上的 Sheaf [latex]/mathcal{F}[/latex]，同调群 [latex]H^i(X, \mathcal{F})[/latex] 是向量空间，其维度提供了重要的不变式。群 [latex]H^0[/latex] 代表全局截面，而 [latex]i > 0[/latex] 的更高群 [latex]H^i[/latex] 则测量将局部截面拼接成全局截面的障碍。

一种求解一阶和双曲二阶偏微分方程 (PDE) 的技术。该方法将偏微分方程 (PDE) 简化为一系列沿着特定曲线（称为“特征”）的常微分方程 (ODE)。沿着这些曲线，PDE 会简化，从而可以通过对 ODE 组进行积分来求得解。该方法对于涉及传输和波传播的问题尤其有效。

代数基本定理的直接推论是：任何实系数非常系数多项式均可分解为线性因子与不可约二次因子的乘积，所有因子系数均为实数。线性因子对应实数根，而不可约二次因子则对应复共轭根对 [latex]a \pm bi[/latex]。.

超越数是指既非代数数（即不满足任何整系数或有理系数非零多项式方程的根）的实数或复数。 所有超越数都是无理数，但并非所有无理数都是超越数（例如√2是无理数但属于代数数，因为它是x² - 2 = 0的根）。.

尽管有理数集[latex]\mathbb{Q}[/latex]具有稠密性（即任意两个不同有理数之间都存在另一个有理数），但它仍是可数无限的。这意味着所有有理数都能与自然数集[latex]\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}[/latex]建立一一对应关系。 这一令人惊讶的结果表明，有理数集[latex]\mathbb{Q}[/latex]与自然数集[latex]\mathbb{N}[/latex]及整数集[latex]\mathbb{Z}[/latex]具有相同的基数。.

希尔伯特的零点定理（德语为 "零点定理"）在几何和代数之间建立了基本的对应关系。它指出，对于代数闭域 [latex]k[/latex]，如果多项式 [latex]p[/latex] 在理想 [latex]I[/latex] 的零集上消失，那么 [latex]p[/latex] 的某个幂必定属于 [latex]I[/latex]。形式上，[latex]I(V(I)) = \sqrt{I}[/latex]，即 [latex]I[/latex] 的根。

仿射变换是仿射空间中点的集合，其坐标是一组有限多项式的公共零点。对于多项式环 [latex]k[x_1, \dots, x_n][/latex] 中的一组多项式 [latex]S = \{f_1, \dots, f_k\}[/latex], 相应的仿射变换是 [latex]V(S) = \{x \in k^n | f(x) = 0 \text{ for all } f \in S\}[/latex].它是经典代数几何的核心研究对象。