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布劳威尔定点定理

1911

L. E. J. Brouwer

(生成的图像仅供参考）

该定理指出，对于映射紧凑凸集到自身的任何连续函数 [latex]f[/latex]，存在一个点 [latex]x_0[/latex]，使得 [latex]f(x_0) = x_0[/latex]。这个点称为定点。非正式地讲，如果把一个国家的地图揉成一团，然后放在这个国家的边界内，那么地图上总会有至少一个点在其对应的现实世界位置的正上方。

The Brouwer fixed-point theorem is a cornerstone of fixed-point theory and has profound implications in many areas of mathematics. The theorem applies to any continuous function [latex]f: D^n \to D^n[/latex], where [latex]D^n[/latex] is the closed n-dimensional unit ball. The proof is non-constructive; it guarantees the existence of a fixed point but does not provide a method to find it. The proof for [latex]n=1[/latex] is a simple consequence of the Intermediate Value Theorem. For higher dimensions, the proof is more complex and typically relies on tools from algebraic topology, such as homology or the concept of the degree of a map. One common proof strategy uses a retraction argument. It assumes, for the sake of contradiction, that a continuous function [latex]f: D^n \to D^n[/latex] has no fixed point. One can then construct a continuous function (a retraction) [latex]r: D^n \to S^{n-1}[/latex] from the disk to its boundary sphere, which can be shown to be impossible. The theorem’s power lies in its generality; it requires only continuity of the function and compactness and convexity of the domain, making it applicable to a wide range of problems where one needs to prove the existence of a solution or equilibrium state.

Algorithms, 持续改进, 控制系统, 设计思维, 数学, 工艺优化, 统计分析, 系統建模語言（SysML）

UNESCO Nomenclature: 1209

- 拓扑结构

类型

抽象系统

中断

实质性

使用方法

广泛使用

前体

博尔扎诺和柯西的中间值定理
波恩卡莱和波尔对存在定理的研究
亨利-庞加莱发展代数拓扑学
雅克-哈达玛就相关问题所做的工作

应用

博弈论（证明纳什均衡的存在）
经济学
计算机制图（计算物体变换）
数值分析（求方程根）
控制理论

专利：

潜在的创新想法

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历史背景

可微流形（geom）

可微分流形是一个局部类似于欧几里得空间的拓扑空间，允许微积分的应用。每个点都有一个与 [latex]\mathbb{R}^n[/latex] 的开放子集同构的邻域。这些局部坐标系被称为图，它们通过平稳过渡函数相互关联，形成了定义流形可微分结构的图集。

数字逻辑中的布尔代数

数字电子技术以布尔代数为基础，布尔代数是乔治-布尔提出的一种数学逻辑系统。它使用两个值，通常是 0 和 1（或假和真），以及三种基本运算：AND（连接）、OR（析取）和 NOT（否定）。这些运算直接对应于构成所有数字电路构件的逻辑门。

素数定理

素数定理描述了素数在整数中的渐近分布。它指出，质数计数函数 [latex]\pi(x)[/latex]（给出小于或等于 [latex]x[/latex] 的质数个数）在渐近上等价于 [latex]x / \ln(x)[/latex]。形式上，[latex]lim_{x \to \infty}\frac\{pi(x)}{x/\ln(x)} = 1[/latex]。这提供了素数和自然对数之间的基本联系。.

布劳威尔定点定理

单因素方差分析（ANOVA）

单因子方差分析用于确定三个或更多独立组的均值之间是否存在统计学意义上的显著差异。它分析单一分类自变量（称为因子）对连续因变量的影响。零假设指出所有组的均值相等，[latex]H_0：\mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k[/latex]。.

库朗-弗里德里希-路易条件

Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) 条件是使用显式时间积分方案对双曲偏微分方程进行数值求解的必要稳定性准则。它规定，时间步长必须足够小，以保证每个时间步的信息传输距离不超过一个空间网格单元。对于一维情况，[latex]C = u \frac\{Delta t}\{Delta x} \le C_{max}[/latex]，确保了数值稳定性。

方差分析的假设

要使方差分析的结果有效，必须满足几个关于数据的关键假设。这些假设包括：(1) 观测值独立，即误差不相关。(2) 正态性，即每组的残差近似呈正态分布。(3) 同方差性，即所有组的残差方差相等。

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准确性与精确性

准确度是指测量值与标准值或已知真实值的接近程度。精确度是指两个或多个测量值相互之间的接近程度。一个测量系统可以是精确但不准确，准确但不精确，两者都不是，或两者兼而有之。在测量理论中，这两个概念是相互独立的。

黎曼几何

黎曼几何是微分几何的一个分支，研究黎曼流形——具有黎曼度量的光滑流形。该度量是切空间上内积的集合，其值随点而平滑变化。它允许定义局部几何概念，例如角度、曲线长度、表面积和体积，从而引出广义的曲率概念。

同构

同构是两个拓扑空间之间的连续函数，它有一个连续的反函数。如果存在这样的函数，两个拓扑空间就被称为同构。从拓扑学的角度来看，同构空间是相同的。这一概念体现了这样一种思想，即一个物体可以被拉伸、弯曲或变形为另一个物体，而不会撕裂或粘连，就像一个咖啡杯可以变成一个甜甜圈。

判定系数（R²）

表示模型拟合程度的统计量，代表因变量中可由自变量预测的方差比例。R² 为 1 表示完全拟合，0 表示没有线性关系。计算公式为 [latex]R^2 \equiv 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}[/latex], 其中 [latex]SS_{res}[/latex] 为残差平方和。.

拓扑空间

拓扑空间是有序对 [latex]（X，\tau）[/latex]，其中 [latex]X[/latex] 是一个集合，[latex]\tau[/latex] 是 [latex]X[/latex] 的子集集合，称为开集，满足三个公理：1）空集 [latex]\emptyset[/latex] 和 [latex]X[/latex] 本身都在 [latex]\tau[/latex] 中。2) [latex]\tau[/latex] 中任意多个集合的联合也在 [latex]\tau[/latex] 中。3）[latex]\tau[/latex] 中任意有限个集合的交集也在 [latex]\tau[/latex] 中。