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基本解法（格林函数）

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George Green

(生成的图像仅供参考）

A fundamental solution of a linear 偏微分 operator [latex]L[/latex] is a solution to the equation [latex]Lu = delta(x)[/latex], where [latex]delta(x)[/latex] is the Dirac delta function. It represents the response of the system to a point source or impulse. Once known, the solution to the inhomogeneous equation [latex]Lu = f(x)[/latex] can be found by convolution: [latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], where [latex]G[/latex] is the fundamental solution.

基本解的概念通常与格林函数密切相关，是求解非均质线性 PDE 的有力工具。狄拉克三角函数 [latex]delta(x)[/latex] 是一个广义函数，代表一个理想化的无限密度和单位总质量的点源，集中于 [latex]x=0[/latex]。因此，基本解 [latex]G(x)[/latex] 就是这个单点源产生的效应或场。.

这种方法的威力来自于适用于线性方程的叠加原理。任何一般源项 [latex]f(x)[/latex] 都可以看作是无限多个加权点源的总和（或积分）。总解法 [latex]u(x)[/latex] 是对每个点源响应的叠加。这种叠加在数学上用卷积积分 [latex]u(x) = int G(x-y)f(y) dy[/latex] 表示。这就将求解 PDE 的问题转化为找到基本解然后进行积分的问题。.

For example, the fundamental solution for the 拉普拉斯 operator in three dimensions ([latex]L = nabla^2[/latex]) is [latex]G(vec{r}) = -frac{1}{4pi|vec{r}|}[/latex], which is the form of the electrostatic or gravitational potential from a point charge or mass. The fundamental solution for the 热方程 is the ‘heat kernel’, a Gaussian function that spreads out over time. Green’s functions are closely related but are tailored to specific domains and boundary conditions, often constructed from the fundamental solution.

声学, 增材制造设计（DfAM）, 电磁学, 热处理, 结构工程

UNESCO Nomenclature: 1208

- 数学物理

类型

抽象系统

中断

基础

使用方法

广泛使用

前体

线性方程的叠加原理
拉普拉斯和泊松电位理论
fourier analysis and convolution theorem
狄拉克的德尔塔函数公式

应用

从电荷分布计算场的电磁学
计算传播者的量子场论
用于确定结构对点荷载响应的结构工程学
点声源建模声学
图像处理去毛刺（解卷积）

专利：

潜在的创新想法

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相关内容：基本解、格林函数、狄拉克三角、点源、卷积、线性 pde、势理论、传播者。.

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历史背景

欧拉特性

欧拉特性是一个拓扑不变量，是一个描述拓扑空间结构或形状的数字，与空间的弯曲方式无关。对于多面体，它由公式 [latex]\chi = V - E + F[/latex] 定义，其中 V、E 和 F 分别是顶点、边和面的数量。对于球面，[latex]\chi = 2[/latex]，而对于环面，[latex]\chi = 0[/latex]。

拉普拉斯方程

二阶线性椭圆偏微分方程，用于描述稳态或平衡条件下的系统。它被写成 [latex]nabla^2 u = 0[/latex] 或 [latex]Delta u = 0[/latex]，其中 [latex]nabla^2[/latex]（或 [latex]Delta[/latex]）是拉普拉斯算子。解称为谐函数，是最平滑的函数，代表静电、重力和流体流动等领域的电势。

热方程

描述热分布或其他扩散过程的基本二阶线性抛物线偏微分方程。其典型形式为 [latex]\frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla^2 u[/latex]，其中 [latex]u(\vec{x},t)[/latex] 为温度，[latex]t[/latex] 为时间，[latex]\alpha[/latex] 为热扩散率。解法模拟了初始温度分布的演变过程，随着时间的推移，不规则的温度分布逐渐平滑并接近稳定状态。

基本解法（格林函数）

德摩根定律

德摩根定律是布尔代数中的一对变换规则，是数字电路设计的基础。第一条定律指出，连合的否定是否定的析取：[latex]\neg(P \land Q) \iff (\neg P) \lor (\neg Q)[/latex].第二种说法是，析取的否定是否定的合取：[latex]\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)[/latex].

可微流形（geom）

可微分流形是一个局部类似于欧几里得空间的拓扑空间，允许微积分的应用。每个点都有一个与 [latex]\mathbb{R}^n[/latex] 的开放子集同构的邻域。这些局部坐标系被称为图，它们通过平稳过渡函数相互关联，形成了定义流形可微分结构的图集。

数字逻辑中的布尔代数

数字电子技术以布尔代数为基础，布尔代数是乔治-布尔提出的一种数学逻辑系统。它使用两个值，通常是 0 和 1（或假和真），以及三种基本运算：AND（连接）、OR（析取）和 NOT（否定）。这些运算直接对应于构成所有数字电路构件的逻辑门。

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欧拉多面体公式

拓扑学和几何学中的一个基本定理，指出对于任何凸多面体，顶点数（V）、边数（E）和面数（F）的关系式为 [latex]V - E + F = 2[/latex]。这个值，即 2，是球体的欧拉特性，揭示了与多面体具体形状无关的深层拓扑特性。

布冯的针头问题

这是几何概率中最早的问题之一，被认为是蒙特卡罗方法的前身。它涉及将一根长度为 [latex]l[/latex] 的针投到地板上，地板上有相距 [latex]t[/latex] 的平行线。针穿过一条线的概率为 [latex]P = \frac{2l}{\pi t}[/latex]（为 [latex]l \le t[/latex]）。这为估算 [latex]\pi[/latex] 提供了一个物理实验。.

普通最小二乘法（OLS）

通过寻找模型参数，使观测值与预测值的平方差之和最小化，从而近似求解超确定系统的标准方法。这个和称为残差平方和（SSR）。目标是找到使函数 [latex]S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex] 最小化的参数 [latex]/hat{\beta}[/latex]。.

高斯的 Egregium 理论

Theorema Egregium（拉丁语，意为 "显著定理"）指出，曲面的高斯曲率是一种固有属性。这意味着它只取决于如何测量曲面本身的距离，而不取决于曲面如何嵌入三维空间。一张平纸在不拉伸的情况下可以卷成圆柱体，但不能卷成球体。

高斯-波内定理

高斯-波奈定理将紧凑二维曲面的几何与拓扑联系起来。它指出，整个曲面 [latex]M[/latex] 上的高斯曲率积分 [latex]K[/latex] 等于曲面的欧拉特性 [latex]2\pi[/latex] 乘以欧拉特性 [latex]/chi(M)[/latex]。公式为 [latex]\int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)[/latex].