Teorema de Parseval

Uma equação diferencial parcial hiperbólica linear de segunda ordem que rege a propagação de vários tipos de ondas. Em sua forma mais simples, é escrita como [latex]frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u[/latex], onde [latex]u(vec{x},t)[/latex] é a amplitude da onda, [latex]c[/latex] é a velocidade da onda e [latex]nabla^2[/latex] é o operador de Laplace. Ela modela fenômenos como cordas vibrantes, ondas sonoras e ondas de luz.

A característica de Euler é um invariante topológico, um número que descreve a estrutura ou forma de um espaço topológico, independentemente de como ele seja curvado. Para poliedros, ela é definida pela fórmula [latex]chi = V - E + F[/latex], onde V, E e F são o número de vértices, arestas e faces, respectivamente. Para uma esfera, [latex]chi = 2[/latex], enquanto para um toro, [latex]chi = 0[/latex].

Um dos primeiros problemas em probabilidade geométrica, é considerado um precursor do método de Monte Carlo. Consiste em deixar cair uma agulha de comprimento l sobre um piso com linhas paralelas separadas por uma distância t. A probabilidade de a agulha cruzar uma linha é P = 2l/πt (para l ≤ t). Isso fornece um experimento físico para estimar π.

A inferência Bayesiana é um método estatístico onde o teorema de Bayes é usado para atualizar a probabilidade de uma hipótese à medida que mais evidências ou informações se tornam disponíveis. É um princípio central da estatística Bayesiana. A ideia central é expressa como: a probabilidade posterior é proporcional ao produto da probabilidade a priori e da verossimilhança, [latex]p(theta|D) propto p(D|theta)p(theta)[/latex], onde [latex]theta[/latex] é o parâmetro e D são os dados.

Uma série de Fourier decompõe qualquer função ou sinal periódico em uma soma de funções oscilantes simples, nomeadamente senos e cossenos. Para uma função [latex]s(x)[/latex] com período [latex]P[/latex], a série é dada por [latex]s(x) approx frac{a_0}{2} + sum_{n=1}^{infty} left[ a_n cosleft(frac{2pi nx}{P}right) + b_n sinleft(frac{2pi nx}{P}right)right][/latex]. Os termos [latex]a_n[/latex] e [latex]b_n[/latex] são os coeficientes de Fourier.

O Teorema Egregium (do latim "Teorema Notável") afirma que a curvatura gaussiana de uma superfície é uma propriedade intrínseca. Isso significa que ela depende apenas de como as distâncias são medidas na própria superfície, e não de como a superfície está inserida no espaço tridimensional. Uma folha de papel plana pode ser enrolada em um cilindro, mas não em uma esfera, sem ser esticada.

Este é um problema historicamente notável na matemática. Sua resolução negativa por Leonhard Euler em 1736 lançou as bases da teoria dos grafos e antecipou a ideia de topologia. O problema questionava se as sete pontes da cidade de Königsberg poderiam ser atravessadas em uma única viagem sem retorno, terminando a viagem no mesmo ponto de partida.

Um teorema fundamental em topologia e geometria afirma que, para qualquer poliedro convexo, o número de vértices (V), arestas (E) e faces (F) estão relacionados pela fórmula [latex]V - E + F = 2[/latex]. Esse valor, 2, é a característica de Euler de uma esfera, revelando uma profunda propriedade topológica independente da forma específica do poliedro.

O teorema de Bayes descreve a probabilidade de um evento com base no conhecimento prévio de condições que podem estar relacionadas a esse evento. É um conceito fundamental na teoria da probabilidade e na estatística. Matematicamente, é expresso como [latex]P(A|B) = frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex], onde A e B são eventos e [latex]P(B) neq 0[/latex]. Ele relaciona as probabilidades condicionais e marginais de dois eventos aleatórios.

Uma equação diferencial parcial elíptica linear de segunda ordem que descreve sistemas em estado estacionário ou em equilíbrio. É escrita como ∇²u = 0 ou Δu = 0, onde ∇² (ou Δ) é o operador de Laplace. As soluções, chamadas funções harmônicas, são as funções mais suaves possíveis e representam potenciais em campos como eletrostática, gravitação e fluxo de fluidos.

Uma abordagem padrão para aproximar soluções de sistemas sobredeterminados consiste em encontrar parâmetros do modelo que minimizem a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e previstos. Essa soma é conhecida como soma dos quadrados dos resíduos (SSR). O objetivo é encontrar os parâmetros [latex]hat{beta}[/latex] que minimizem a função [latex]S(beta) = sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T beta)^2[/latex].

Uma equação diferencial parcial parabólica linear fundamental de segunda ordem que descreve a distribuição de calor ou outros processos de difusão. Sua forma canônica é [latex]frac{partial u}{partial t} = alpha nabla^2 u[/latex], onde [latex]u(vec{x},t)[/latex] é a temperatura, [latex]t[/latex] é o tempo e [latex]alpha[/latex] é a difusividade térmica. As soluções modelam como uma distribuição de temperatura inicial evolui, suavizando as irregularidades ao longo do tempo e aproximando-se de um estado estacionário.

Os coeficientes da série de Fourier de uma função [latex]s(x)[/latex] com período [latex]P[/latex] são calculados usando fórmulas integrais. O componente DC é [latex]a_0 = frac{2}{P} int_{P} s(x) , dx[/latex]. Os coeficientes do cosseno são [latex]a_n = frac{2}{P} int_{P} s(x) cosleft(frac{2pi nx}{P}right) , dx[/latex], e os coeficientes do seno são [latex]b_n = frac{2}{P} int_{P} s(x) sinleft(frac{2pi nx}{P}right) , dx[/latex] para [latex]n ge 1[/latex].

Uma solução fundamental de um operador diferencial parcial linear [latex]L[/latex] é uma solução da equação [latex]Lu = delta(x)[/latex], onde [latex]delta(x)[/latex] é a função delta de Dirac. Ela representa a resposta do sistema a uma fonte pontual ou impulso. Uma vez conhecida, a solução da equação não homogênea [latex]Lu = f(x)[/latex] pode ser encontrada por convolução: [latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], onde [latex]G[/latex] é a solução fundamental.