フーリエ級数

幾何確率論における初期の問題の一つであり、モンテカルロ法の先駆けと考えられています。長さ[latex]l[/latex]の針を、距離[latex]t[/latex]だけ平行な線が引かれた床に落とすという問題です。針が線を横切る確率は[latex]P = frac{2l}{pi t}[/latex]（[latex]l le t[/latex]の場合）です。これは[latex]pi[/latex]を推定するための物理的な実験となります。

パーセバルの定理は、信号の全エネルギー（1周期にわたるその二乗の積分）を、そのフーリエ級数成分の二乗エネルギーの和に関連付けます。周期[latex]P[/latex]の関数[latex]s(x)[/latex]の場合、定理は次のように述べます。[latex]frac{1}{P} int_P |s(x)|^2 , dx = sum_{n=-infty}^{infty} |c_n|^2[/latex]、ここで[latex]c_n[/latex]は複素フーリエ係数です。

ベイズ推論は、より多くの証拠や情報が得られるにつれて仮説の確率を更新するためにベイズの定理を使用する統計的手法です。これはベイズ統計学の中心的な原則です。その核心となる考え方は、事後確率は事前確率と尤度の積に比例するというものです。[latex]p(theta|D) propto p(D|theta)p(theta)[/latex]、ここで[latex]theta[/latex]はパラメータ、Dはデータです。

「驚異の定理」（ラテン語で「Theorema Egregium」）は、曲面のガウス曲率が固有の性質であることを述べています。つまり、曲率は曲面自体の距離の測定方法のみに依存し、曲面が三次元空間にどのように埋め込まれているかには依存しないということです。平らな紙は伸ばさずに円筒形に丸めることはできますが、球形に丸めることはできません。

フーリエ級数が関数の値に収束するためには、関数は1周期にわたってディリクレ条件を満たさなければなりません。これらの条件は次のとおりです。(1) 関数は絶対積分可能であること、(2) 関数は有限個の極値（最大値と最小値）を持つこと、(3) 関数は有限個の有限な不連続点を持つこと。

ド・モルガンの法則は、デジタル回路設計の基礎となるブール代数の変換規則のペアです。第1法則は、論理積の否定は否定の論理和であると述べています。[latex]neg(P land Q) iff (neg P) lor (neg Q)[/latex]。第2法則は、論理和の否定は否定の論理積であると述べています。[latex]neg(P lor Q) iff (neg P) land (neg Q)[/latex]。

ベイズの定理は、事象に関連する可能性のある条件に関する事前知識に基づいて、事象の確率を記述するものです。これは確率論と統計学における基本的な概念です。数学的には、[latex]P(A|B) = frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex]と表され、AとBは事象であり、[latex]P(B) neq 0[/latex]です。これは、2つのランダムな事象の条件付き確率と周辺確率の関係を表します。

定常状態または平衡状態にあるシステムを記述する2階線形楕円型偏微分方程式。これは、[latex]nabla^2 u = 0[/latex]または[latex]Delta u = 0[/latex]と表記され、[latex]nabla^2[/latex]（または[latex]Delta[/latex]）はラプラス演算子です。調和関数と呼ばれる解は、可能な限り滑らかな関数であり、静電気、重力、流体の流れなどの場におけるポテンシャルを表します。

過剰決定システムの解を近似するための標準的なアプローチは、観測値と予測値の二乗差の合計を最小化するモデルパラメータを見つけることです。この合計は二乗残差の合計 (SSR) として知られています。目標は、関数 [latex]S(beta) = sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T beta)^2[/latex] を最小化するパラメータ [latex]hat{beta}[/latex] を見つけることです。

熱分布やその他の拡散過程を記述する基本的な2階線形放物型偏微分方程式。その標準形は[latex]frac{partial u}{partial t} = alpha nabla^2 u[/latex]で、ここで[latex]u(vec{x},t)[/latex]は温度、[latex]t[/latex]は時間、[latex]alpha[/latex]は熱拡散率です。解は、初期温度分布がどのように変化し、時間の経過とともに不規則性が平滑化されて定常状態に近づくかをモデル化します。

周期 [latex]P[/latex] の関数 [latex]s(x)[/latex] のフーリエ級数の係数は、積分公式を用いて計算されます。直流成分は [latex]a_0 = frac{2}{P} int_{P} s(x) , dx[/latex] です。コサイン係数は [latex]a_n = frac{2}{P} int_{P} s(x) cosleft(frac{2pi nx}{P}right) , dx[/latex] であり、サイン係数は [latex]b_n = frac{2}{P} int_{P} s(x) sinleft(frac{2pi nx}{P}right) , dx[/latex] ですが、[latex]n ge 1[/latex] です。

線形偏微分演算子 [latex]L[/latex] の基本解は、方程式 [latex]Lu = delta(x)[/latex] の解です。ここで、[latex]delta(x)[/latex] はディラックのデルタ関数です。これは、点源またはインパルスに対するシステムの応答を表します。一度わかれば、非斉次方程式 [latex]Lu = f(x)[/latex] の解は畳み込みによって見つけることができます。[latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex]、ここで [latex]G[/latex] は基本解です。

ガウス・ボンネの定理は、コンパクトな2次元曲面の幾何学と位相を結びつける定理です。この定理によれば、曲面全体[latex]M[/latex]におけるガウス曲率[latex]K[/latex]の積分は、曲面のオイラー標数[latex]χ(M)[/latex]の[latex]2π[/latex]倍に等しくなります。式は[latex]int_M K , dA = 2pi chi(M)[/latex]です。

正確さとは、測定値が標準値または既知の真値にどれだけ近いかを示すものです。精度とは、2つ以上の測定値が互いにどれだけ近いかを示すものです。測定システムは、精度は高いが正確ではない場合、正確だが精度は低い場合、どちらでもない場合、あるいは両方を満たす場合があります。測定理論において、これら2つの概念は互いに独立しています。