Sistema di coordinate cartesiane

I solidi platonici sono gli unici cinque poliedri regolari convessi: un poliedro regolare ha facce poligonali regolari congruenti e lo stesso numero di facce che si incontrano in ogni vertice. I cinque solidi sono il tetraedro (4 facce), il cubo (6 facce), l'ottaedro (8 facce), il dodecaedro (12 facce) e l'icosaedro (20 facce). La loro simmetria e le loro proprietà sono state studiate fin dall'antichità.

La radice quadrata di 2 è un numero irrazionale, ovvero non può essere espressa come rapporto tra due numeri interi p/q. La dimostrazione classica, spesso attribuita ai Pitagorici, è una dimostrazione per assurdo: presuppone che √2 = p/q ai minimi termini, il che porta alla conclusione che sia p che q debbano essere pari, contraddicendo l'ipotesi iniziale.

Il teorema di Tolomeo fornisce un'elegante dimostrazione geometrica per le formule di somma e differenza in trigonometria. Inscrivendo un quadrilatero in una circonferenza con un lato come diametro, le lunghezze dei lati possono essere espresse come seni e coseni degli angoli inscritti. Applicando direttamente il teorema [latex]AC cdot BD = AB cdot CD + BC cdot DA[/latex] si ottengono identità come [latex]sin(alpha + beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta[/latex].

L'induzione matematica è una tecnica utilizzata per dimostrare che una proprietà [latex]P(n)[/latex] vale per ogni numero naturale [latex]n[/latex]. Essa si articola in due fasi: il caso base, che dimostra la veridicità di [latex]P(0)[/latex] o [latex]P(1)[/latex], e la fase induttiva, che dimostra che se [latex]P(k)[/latex] è vera per qualche numero naturale [latex]k[/latex] (l'ipotesi induttiva), allora anche [latex]P(k+1)[/latex] è vera.

Equazione differenziale parziale lineare iperbolica del secondo ordine che regola la propagazione di vari tipi di onde. Nella sua forma più semplice, si scrive come [latex]\frac{parziale^2 u}{parziale t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex], dove [latex]u(\vec{x},t)[/latex] è l'ampiezza dell'onda, [latex]c[/latex] è la velocità dell'onda e [latex]\nabla^2[/latex] è l'operatore di Laplace. Modella fenomeni come le corde vibranti, le onde sonore e le onde luminose.

La caratteristica di Eulero è un invariante topologico, un numero che descrive la struttura o la forma di uno spazio topologico indipendentemente da come viene piegato. Per i poliedri, è definita dalla formula [latex]\chi = V - E + F[/latex], dove V, E e F sono rispettivamente il numero di vertici, spigoli e facce. Per una sfera, [latex]\chi = 2[/latex], mentre per un toro, [latex]\chi = 0[/latex].

La dimostrazione diretta è un metodo per dimostrare la verità di un'affermazione data mediante una semplice combinazione di fatti consolidati, solitamente assiomi, definizioni e teoremi precedentemente dimostrati. Per dimostrare un'affermazione condizionale [latex]p rightarrow q[/latex], si assume che [latex]p[/latex] sia vera e si utilizzano le regole di inferenza per dimostrare che anche [latex]q[/latex] deve essere vera.

La dimostrazione per assurdo, o reductio ad absurdum, è una forma di dimostrazione indiretta. Essa stabilisce la verità di una proposizione mostrando che assumere la proposizione come falsa porta a una contraddizione logica. Per dimostrare una proposizione p, si assume la sua negazione, Δp, e si deduce una contraddizione, come q ∈ Δq, concludendo così che p deve essere vera.

Il teorema di Pitagora è una relazione fondamentale della geometria euclidea tra i tre lati di un triangolo rettangolo. Esso afferma che l'area del quadrato il cui lato è l'ipotenusa (il lato opposto all'angolo retto) è uguale alla somma delle aree dei quadrati degli altri due lati. La formula è espressa come [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex].

Noto anche come metodo degli indivisibili, questo principio afferma che se due solidi compresi tra due piani paralleli hanno la proprietà che ogni piano parallelo ai due piani dati li interseca in sezioni trasversali di area uguale, allora i due solidi hanno volumi uguali. Si tratta di un potente metodo per calcolare i volumi di forme complesse senza ricorrere al calcolo.

Il teorema di Pitagora fornisce la base per la formula della distanza in coordinate cartesiane. La distanza d tra due punti (x₁, y₁) e (x₂, y₂) su un piano è data da d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)². Questa formula è un'applicazione diretta del teorema a un triangolo rettangolo i cui cateti sono le differenze tra le coordinate x e y.

Si tratta di un problema storicamente notevole in matematica. La sua risoluzione negativa da parte di Leonhard Euler nel 1736 ha posto le basi della teoria dei grafi e ha prefigurato l'idea di topologia. Il problema chiedeva se i sette ponti della città di Königsberg potessero essere attraversati tutti in un solo viaggio senza tornare indietro, e se il viaggio terminasse sulla stessa terraferma da cui era partito.

Teorema fondamentale della topologia e della geometria secondo il quale, per qualsiasi poliedro convesso, il numero di vertici (V), spigoli (E) e facce (F) è legato dalla formula [latex]V - E + F = 2[/latex]. Questo valore, 2, è la caratteristica di Eulero di una sfera, che rivela una profonda proprietà topologica indipendente dalla forma specifica del poliedro.

Il teorema di Bayes descrive la probabilità di un evento sulla base della conoscenza preliminare delle condizioni che potrebbero essere correlate all'evento stesso. Si tratta di un concetto fondamentale nella teoria della probabilità e nella statistica. Matematicamente, è espresso come [latex]P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex], dove A e B sono eventi e [latex]P(B) \neq 0[/latex]. Mette in relazione le probabilità condizionate e marginali di due eventi casuali.