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रैंक-शून्यता प्रमेय

1884

James Joseph Sylvester

(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)

रेखीय बीजगणित में, रैंक-शून्यता प्रमेय यह बताता है कि परिमित-आयामी सदिश स्थानों के बीच किसी भी रेखीय मानचित्र [latex]T: V to W[/latex] के लिए, उसके डोमेन [latex]V[/latex] का आयाम उसकी रैंक (उसकी छवि का आयाम) और उसकी शून्यता (उसके कर्नेल का आयाम) का योग होता है। सूत्र है [latex]dim(V) = text{rank}(T) + text{nullity}(T)[/latex]।

रैंक-शून्यता प्रमेय एक रेखीय रूपांतरण से जुड़े प्रमुख उपस्थानों के आयामों के बीच एक मूलभूत संबंध प्रदान करता है। मान लीजिए [latex]T: V to W[/latex] एक रेखीय मानचित्र है। T का कर्नेल, जिसे [latex]ker(T)[/latex] से दर्शाया जाता है, [latex]V[/latex] में उन सदिशों का समुच्चय है जो [latex]W[/latex] में शून्य सदिश पर मैप किए जाते हैं। कर्नेल के आयाम को T की शून्यता कहा जाता है। T की छवि, जिसे [latex]text{im}(T)[/latex] से दर्शाया जाता है, [latex]W[/latex] में उन सभी सदिशों का समुच्चय है जो [latex]V[/latex] से किसी इनपुट सदिश के लिए T का आउटपुट हैं। छवि का आयाम T की रैंक है।

प्रमेय कहता है कि [latex]dim(text{domain}(T)) = dim(ker(T)) + dim(text{im}(T))[/latex]। एक सामान्य प्रमाण रणनीति में आधार का निर्माण शामिल है। सबसे पहले, कर्नेल के लिए एक आधार ज्ञात कीजिए, मान लीजिए [latex]{u_1, dots, u_k}[/latex], जहाँ [latex]k = text{nullity}(T)[/latex]। चूंकि कर्नेल [latex]V[/latex] का एक उपस्थान है, इसलिए इस आधार को [latex]V[/latex] के सभी के लिए एक आधार तक विस्तारित किया जा सकता है: [latex]{u_1, dots, u_k, v_1, dots, v_r}[/latex]। इस प्रकार [latex]V[/latex] का आयाम [latex]k+r[/latex] है। अंतिम चरण यह दर्शाना है कि समुच्चय [latex]{T(v_1), dots, T(v_r)}[/latex] T की छवि के लिए एक आधार बनाता है। यह सिद्ध करता है कि रैंक [latex]r[/latex] है, और इसलिए [latex]dim(V) = k+r = text{nullity}(T) + text{rank}(T)[/latex]।

मैट्रिक्स के लिए, यदि [latex]A[/latex] एक [latex]m times n[/latex] मैट्रिक्स है, तो यह [latex]mathbb{R}^n[/latex] से [latex]mathbb{R}^m[/latex] तक एक रैखिक मानचित्र को दर्शाता है। डोमेन का आयाम [latex]n[/latex] है। [latex]A[/latex] की रैंक उसके कॉलम स्पेस का आयाम है, और उसकी शून्यता उसके शून्य स्पेस का आयाम है। प्रमेय इस प्रकार है: [latex]n = text{rank}(A) + text{nullity}(A)[/latex]।

यह प्रमेय रैखिक बीजगणित के मूलभूत प्रमेय का एक प्रमुख घटक है, जो एक [latex]m times n[/latex] मैट्रिक्स [latex]A[/latex] से जुड़े चार मूलभूत उपस्थानों की संरचना का व्यापक विवरण प्रदान करता है: स्तंभ स्थान, शून्य स्थान, पंक्ति स्थान और बायां शून्य स्थान। यह खूबसूरती से दर्शाता है कि जैसे-जैसे [latex]Ax=0[/latex] (शून्य स्थान) के हलों का समुच्चय बढ़ता है, संभावित आउटपुट [latex]Ax[/latex] (स्तंभ स्थान) का समुच्चय छोटा होता जाता है, और उनके आयामों का योग इनपुट स्थान के कुल आयाम के बराबर होता है।

एल्गोरिदम, गणित, प्रक्रिया अनुकूलन, गुणवत्ता नियंत्रण, गुणवत्ता प्रबंधन, सांख्यिकीय विश्लेषण

UNESCO Nomenclature: 1201

बीजगणित

Type

सार प्रणाली

व्यवधान

मूलभूत

उपयोग

व्यापक उपयोग

शगुन

वेक्टर स्पेस की अवधारणा, जिसे ग्यूसेप्पे पियानो द्वारा औपचारिक रूप दिया गया था।
आर्थर केले द्वारा विकसित मैट्रिक्स का सिद्धांत।
हरमन ग्रासमैन द्वारा विकसित सदिश स्थान के आयाम की अवधारणा।
रेखीय स्वतंत्रता और आधार सदिशों की समझ।
वेक्टर स्पेस के बीच रैखिक रूपांतरणों (मैप्स) का औपचारिककरण।
कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने पर किया गया प्रारंभिक कार्य।

आवेदन

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना
डेटा साइंस में प्रिंसिपल कंपोनेंट एनालिसिस (पीसीए)
कंप्यूटर ग्राफिक्स रूपांतरण
इंजीनियरिंग में नियंत्रण सिद्धांत
त्रुटि पहचान और सुधार कोड
क्रिप्टोग्राफी
क्वांटम यांत्रिकी

पेटेंट:

संभावित नवाचार विचार

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संबंधित विषय: रैंक-शून्यता प्रमेय, रैखिक बीजगणित, सदिश स्थान, आयाम, कर्नेल, शून्यता, छवि, रैंक, रैखिक रूपांतरण, मैट्रिक्स सिद्धांत।

ऐतिहासिक संदर्भ

गॉस-बोनट प्रमेय

गॉस-बोनट प्रमेय एक संकुचित द्वि-आयामी सतह की ज्यामिति को उसकी टोपोलॉजी से जोड़ता है। यह बताता है कि संपूर्ण सतह M पर गॉसियन वक्रता K का समाकलन सतह के यूलर अभिलक्षणिका chi(M) के 2π गुना के बराबर होता है। सूत्र है: ∫M K dA = 2π chi(M)

1850 के दशक की एक वैज्ञानिक प्रयोग प्रयोगशाला में सटीक मापन उपकरण।

शुद्धता बनाम परिशुद्धता

परिशुद्धता से तात्पर्य मापे गए मान का मानक या ज्ञात वास्तविक मान के निकट होने से है। परिशुद्धता से तात्पर्य दो या दो से अधिक मापों के एक दूसरे के निकट होने से है। एक मापन प्रणाली परिशुद्ध हो सकती है लेकिन परिशुद्ध नहीं, परिशुद्ध हो सकती है लेकिन परिशुद्ध नहीं, न तो परिशुद्ध हो सकती है और न ही परिशुद्ध, या दोनों हो सकती हैं। मापन सिद्धांत में ये दोनों अवधारणाएँ एक दूसरे से स्वतंत्र हैं।

रीमैनियन ज्यामिति

रीमैनियन ज्यामिति, अवकल ज्यामिति की वह शाखा है जो रीमैनियन मैनिफोल्ड्स का अध्ययन करती है—ये चिकने मैनिफोल्ड्स होते हैं जिनमें रीमैनियन मीट्रिक होता है। यह मीट्रिक स्पर्शरेखा क्षेत्रों पर आंतरिक गुणनफलों का एक संग्रह है, जो एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक सुचारू रूप से बदलता रहता है। यह कोण, वक्रों की लंबाई, पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन जैसी स्थानीय ज्यामितीय अवधारणाओं को परिभाषित करने की अनुमति देता है, जिससे वक्रता की एक सामान्यीकृत अवधारणा प्राप्त होती है।

रैंक-शून्यता प्रमेय

गणित के कागजात और अभाज्य संख्या सिद्धांत से संबंधित एक प्राचीन कैलकुलेटर से सुसज्जित एक पुराना कार्यालय।

अभाज्य संख्या प्रमेय

अभाज्य संख्या प्रमेय पूर्णांकों के बीच अभाज्य संख्याओं के स्पर्शोन्मुख वितरण का वर्णन करता है। यह बताता है कि अभाज्य संख्याओं की गणना करने वाला फलन [latex]pi(x)[/latex], जो [latex]x[/latex] से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या देता है, स्पर्शोन्मुख रूप से [latex]x / ln(x)[/latex] के समतुल्य है। औपचारिक रूप से, [latex]lim_{x to infty} frac{pi(x)}{x/ln(x)} = 1[/latex]। यह अभाज्य संख्याओं और प्राकृतिक लघुगणक के बीच एक मूलभूत संबंध स्थापित करता है।

एक सांख्यिकीविद् कार्यालय के माहौल में प्रतिगमन मॉडल डेटा का विश्लेषण कर रहा है।

निर्धारण गुणांक (R²)

एक सांख्यिकी जो मॉडल की उपयुक्तता को दर्शाती है, यह आश्रित चर में भिन्नता के उस अनुपात को दर्शाती है जिसे स्वतंत्र चर से अनुमानित किया जा सकता है। R² का मान 1 होने पर पूर्ण उपयुक्तता का संकेत मिलता है, जबकि 0 होने पर कोई रैखिक संबंध नहीं होता है। इसकी गणना [latex]R² equiv 1 - frac{SS_{res}}{SS_{tot}}[/latex] सूत्र से की जाती है, जहाँ [latex]SS_{res}[/latex] अवशिष्ट वर्गों का योग है।

फ्रेडहोम सूचकांक

फ्रेडहोम सूचकांक, रैंक-शून्यता प्रमेय को बानाच स्पेस जैसे अनंत-आयामी स्पेस तक विस्तारित करता है। फ्रेडहोम ऑपरेटर [latex]T: X to Y[/latex] के लिए, इसका सूचकांक [latex]text{ind}(T) = dim(ker(T)) - dim(text{coker}(T))[/latex] के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ कोकर्नेल का आयाम यह मापता है कि छवि संपूर्ण स्पेस से कितनी दूर है। ऑपरेटर में छोटे-मोटे बदलावों के बावजूद यह सूचकांक एक स्थिर पूर्णांक मान होता है।

1848

1850

1854

1884

1896

1900

1903

1829

1850

1854

1895

1899

1900

1911

पीटर गुस्ताव लेजेउन डिरिचलेट का अध्ययन कक्ष, जिसमें अभिसरण स्थितियों पर गणितीय नोट्स मौजूद हैं।

अभिसरण के लिए डिरिचलेट शर्तें

किसी फूरियर श्रृंखला के फलन के मान पर अभिसरित होने के लिए, फलन को एक अवधि में डिरिचलेट शर्तों को पूरा करना चाहिए। ये शर्तें इस प्रकार हैं: (1) फलन पूर्णतः समाकलनीय होना चाहिए, (2) इसमें परिमित संख्या में चरम बिंदु (अधिकतम और न्यूनतम) होने चाहिए, और (3) इसमें परिमित संख्या में परिमित असंतुलन होने चाहिए।

डी मॉर्गन के नियम

डी मॉर्गन के नियम बूलियन बीजगणित में रूपांतरण नियमों का एक युग्म है जो डिजिटल सर्किट डिज़ाइन के लिए मूलभूत है। पहला नियम कहता है कि संयोजन का निषेध निषेधों का वियोजन होता है: [latex]neg(P land Q) iff (neg P) lor (neg Q)[/latex]। दूसरा नियम कहता है कि वियोजन का निषेध निषेधों का संयोजन होता है: [latex]neg(P lor Q) iff (neg P) land (neg Q)[/latex]।

एक ऐतिहासिक अध्ययन कक्ष में रखे गए चर्मपत्र के स्क्रॉल में अवकलनीय मैनिफोल्ड्स का विस्तृत विवरण दिया गया है।

अवकलनीय मैनिफोल्ड (ज्यामिति)

अवकलनीय मैनिफोल्ड एक स्थलीय स्थान है जो स्थानीय रूप से यूक्लिडियन स्थान के समान होता है, जिससे कैलकुलस का अनुप्रयोग संभव हो पाता है। प्रत्येक बिंदु का एक ऐसा पड़ोस होता है जो [latex]mathbb{R}^n[/latex] के एक खुले उपसमुच्चय के समरूप होता है। ये स्थानीय निर्देशांक प्रणालियाँ, जिन्हें चार्ट कहा जाता है, सुगम संक्रमण फलनों द्वारा संबंधित होती हैं, जो एक एटलस का निर्माण करती हैं और मैनिफोल्ड की अवकलनीय संरचना को परिभाषित करती हैं।

एक लकड़ी की मेज जिस पर बहीखाता, कलम और ब्लैकबोर्ड रखा है, जिस पर बूलियन बीजगणित के लॉजिक गेट्स दिखाए गए हैं।

डिजिटल लॉजिक में बूलियन बीजगणित

डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स, जॉर्ज बूले द्वारा प्रतिपादित गणितीय तर्क प्रणाली, बूलियन बीजगणित पर आधारित है। इसमें आमतौर पर दो मान, 0 और 1 (या असत्य और सत्य), और तीन मूलभूत संक्रियाएँ उपयोग की जाती हैं: AND (संयोजन), OR (वियोजन), और NOT (निषेध)। ये संक्रियाएँ सीधे उन लॉजिक गेट्स से संबंधित होती हैं जो सभी डिजिटल परिपथों के मूलभूत घटक होते हैं।

एक गणितज्ञ का कार्यक्षेत्र जो स्थलीय आरेखों और विरूपण उदाहरणों के साथ समरूपता को प्रदर्शित करता है।

होमियोमॉर्फिज्म

होमियोमॉर्फिज्म दो टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक सतत फलन होता है जिसका एक सतत व्युत्क्रम फलन भी होता है। दो टोपोलॉजिकल स्पेस को होमियोमॉर्फिक कहा जाता है यदि ऐसा फलन मौजूद हो। टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से, होमियोमॉर्फिक स्पेस एक समान होते हैं। यह अवधारणा इस विचार को समाहित करती है कि किसी वस्तु को बिना फाड़े या चिपकाए खींचा, मोड़ा या विकृत किया जा सकता है, जैसे कॉफी मग को डोनट में बदलना।

सिग्नल प्रोसेसिंग प्रयोगशाला असंतुलन बिंदुओं पर फूरियर श्रृंखला के व्यवहार का विश्लेषण कर रही है।

गिब्स घटना

गिब्स घटना, जंप असंतुलन पर फूरियर श्रृंखला के व्यवहार का वर्णन करती है। श्रृंखला के आंशिक योग जंप के पास एक अतिवृद्धि दर्शाते हैं, जो अधिक पद जोड़ने पर भी गायब नहीं होती। यह अतिवृद्धि श्रृंखला में पदों की संख्या की परवाह किए बिना, जंप की ऊँचाई के लगभग 9% के स्थिर मान पर अभिसरित होती है।

गॉस-मार्कोव प्रमेय

यह प्रमेय बताता है कि एक रैखिक प्रतिगमन मॉडल में, जहाँ त्रुटियों का माध्य शून्य होता है, वे असंबंधित होती हैं और उनका प्रसरण स्थिर होता है (समरूपता), साधारण न्यूनतम वर्ग (ओएलएस) अनुमानक सर्वश्रेष्ठ रैखिक निष्पक्ष अनुमानक (ब्लू) होता है। 'सर्वश्रेष्ठ' का अर्थ है कि प्रतिगमन गुणांकों के सभी रैखिक निष्पक्ष अनुमानकों में इसका प्रसरण न्यूनतम होता है, जिससे यह सबसे सटीक होता है।

Mathematician demonstrating Brouwer Fixed-Point Theorem with a crumpled map in an office.

ब्राउवर स्थिर-बिंदु प्रमेय

यह प्रमेय बताता है कि किसी भी सतत फलन [latex]f[/latex] के लिए जो एक संकुचित उत्तल समुच्चय को स्वयं पर परावर्तित करता है, एक बिंदु [latex]x_0[/latex] होता है जैसे कि [latex]f(x_0) = x_0[/latex]। इस बिंदु को स्थिर बिंदु कहा जाता है। सरल शब्दों में, यदि आप किसी देश का नक्शा लें, उसे मोड़ें और देश की सीमाओं के भीतर रखें, तो नक्शे पर हमेशा कम से कम एक बिंदु ऐसा होगा जो उसके वास्तविक स्थान के ठीक ऊपर होगा।

(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)